如圖，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是平面上任意一點，且BD⊥CD，過點A作DB、DC的垂線，垂足為E、F．
（1）求證：BE=CF；
（2）當點D在平面上任意運動時，試探究線段DA、DB、DC之間的數量關系，并說明理由；
（3）點D在平面上任意運動，當△ABD面積取最大值時，此時，若CD=1，請直接寫出AD的長．
【考點】三角形綜合題．
【答案】（1）見解析；
（2）或；
（3）．
（2）
DB
+
DC
=
2
DA
|
DB
-
DC
|
=
2
DA
（3）
DA
=
2
+
1
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：517引用：2難度：0.1
相似題
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1．在平面直角坐標系中，O為原點，點A（3，0），點B（0，4），把△ABO繞點B逆時針旋轉，得△A'BO′．點A，O旋轉后的對應點為A'，O'，記旋轉角為α．
（Ⅰ）如圖①，若α=90°，求AA'的長；
（Ⅱ）如圖②．若α=45°，求點O'的坐標；
（Ⅲ）若M為AB邊上的一動點，在OB上取一點N（0，1），將△ABO繞點B逆時針旋轉一周，求MN的取值范圍（直接寫出結果即可）．發布：2025/6/3 17:0:2組卷：687引用：4難度：0.4 -
2．【問題】：如圖1，等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90°，AD是△ABC的角平分線，點E為AD上一點，EF⊥CE交BA延長線于點F，連接CF，探究AE，AC，AF之間的數量關系．
【分析】：小明在思考這道題時，先通過測量猜想出CE=EF，然后他想到了老師講過的“手拉手”模型，便嘗試著過點E作AD的垂線與AC相交于點G（如圖2），通過證明△EAF≌△EGC，最終探究出AE、AC、AF之間的數量關系．
（1）請根據小明的思路，補全△EAF≌EGC的證明過程；
（2）請直接寫出AE，AC，AF之間的數量關系；
【應用】（3）當AF=2時，請直接寫出AE的長為 ；
【拓展】（4）若CF的中點為點M，當B，E，M三點共線時，請直接寫出AE的長為 ．發布：2025/6/3 18:0:1組卷：682引用：1難度：0.4 -
3．如圖①，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點O，過點O作EF∥BC交AB于E，交AC于F．
（1）求證：△BEO是等腰三角形．
（2）如圖①，猜想：線段EF與線段BE、CF之間有怎樣的數量關系？并說明理由．
（3）如圖②，若△ABC中∠ABC的平分線BO與三角形外角的平分線CO交于O，過O點作OE∥BC交AB于點E，交AC于點F，這時圖中線段EF與線段BE、CF之間的數量關系又如何？直接寫出答案，不說明理由．發布：2025/6/3 18:30:1組卷：48引用：1難度：0.4