已知橢圓C兩焦點坐標分別為F1（-2，0），F2（2，0），一個頂點為A（0，-1）．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）是否存在斜率為k（k≠0）的直線l,使直線l與橢圓C交于不同的兩點M，N，滿足|AM|=|AN|．若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由．
2
2
【考點】直線與橢圓的綜合．
【答案】（Ⅰ）．
（Ⅱ）存在這樣的直線l．
設直線l的方程為y=kx+m，代入橢圓方程化為（1+3k2）x2+6kmx+3m2-3=0
∵Δ=36k2m2-4（1+3k2）（3m2-3）得3k2-m2+1＞0…①
設M（x1，y1），N（x2，y2），線段MN中點為P（x0，y0），
則x1+x2=-，x1x2=．
于是x0=-，y0=kx0+m=．
∵|AM|=|AN|，∴AP⊥MN．
若m=0，則直線l過原點，P（0，0），不合題意．
若m≠0，由k≠0得，kAP?k=-1得到，整理得2m=3k2+1…②
由①②知，k2＜1，∴-1＜k＜1．
又k≠0，∴k∈（-1，0）∪（0，1）．
x
2
3
+
y
2
=
1
（Ⅱ）存在這樣的直線l．
設直線l的方程為y=kx+m，代入橢圓方程化為（1+3k2）x2+6kmx+3m2-3=0
∵Δ=36k2m2-4（1+3k2）（3m2-3）得3k2-m2+1＞0…①
設M（x1，y1），N（x2，y2），線段MN中點為P（x0，y0），
則x1+x2=-
6
km
1
+
3
k
2
3
m
2
-
3
1
+
3
k
2
于是x0=-
3
km
1
+
3
k
2
m
1
+
3
k
2
∵|AM|=|AN|，∴AP⊥MN．
若m=0，則直線l過原點，P（0，0），不合題意．
若m≠0，由k≠0得，kAP?k=-1得到
y
0
+
1
x
0
?
k
=
-
1
由①②知，k2＜1，∴-1＜k＜1．
又k≠0，∴k∈（-1，0）∪（0，1）．
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：260引用：4難度：0.1
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