已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1（-1，0），F2（1，0），點A（22，32）在橢圓C上．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）是否存在斜率為2的直線l,使得當直線l與橢圓C有兩個不同交點M，N時，能在直線y=53上找到一點P，在橢圓C上找到一點Q，滿足PM=NQ？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
A
（
2
2
，
3
2
）
y
=
5
3
PM
=
NQ
【考點】直線與橢圓的綜合．
【答案】（1）；
（2）不存在，理由：
假設存在這樣的直線 設直線l的方程為y=2x+t，
設M（x1，y1），N（x2，y2），，Q（x4，y4），MN的中點為D（x0，y0），
由
得9x2+8tx+2t2-2=0，
所以，且Δ=（8t）2-36（2t2-2）＞0，
則-3＜t＜3，∴
由知四邊形PMQN為平行四邊形，
而D為線段MN的中點，因此，D也是線段PQ的中點，
所以，可得，
又-3＜t＜3，所以，
因此點Q不在橢圓上．
所以這樣的直線l不存在．
x
2
2
+
y
2
=
1
（2）不存在，理由：
假設存在這樣的直線 設直線l的方程為y=2x+t，
設M（x1，y1），N（x2，y2），
P
（
x
3
，
5
3
）
由
y = 2 x + t |
x 2 2 + y 2 = 1 |
所以
x
1
+
x
2
=
-
8
t
9
則-3＜t＜3，
y
1
+
y
2
=
2
（
x
1
+
x
2
）
+
2
t
=
2
t
9
y
0
=
y
1
+
y
2
2
=
t
9
由
PM
=
NQ
而D為線段MN的中點，因此，D也是線段PQ的中點，
所以
y
0
=
5
3
+
y
4
2
=
t
9
y
4
=
2
t
-
15
9
又-3＜t＜3，所以
-
7
3
＜
y
4
＜
-
1
因此點Q不在橢圓上．
所以這樣的直線l不存在．
【解答】
【點評】
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發布：2024/4/20 14:35:0組卷：40引用：4難度：0.5
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