| 倍長(zhǎng)中線（Method of times the length of line） 倍長(zhǎng)中線的意思是：延長(zhǎng)邊上（不一定是底邊）的中線，使所延長(zhǎng)部分與中線相等，然后往往需要連接相應(yīng)的頂點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)角對(duì)應(yīng)邊都對(duì)應(yīng)相等，此法常用于構(gòu)造全等三角形，利用中線的性質(zhì)、輔助線、對(duì)頂角一般用“SAS”證明對(duì)應(yīng)邊之間的關(guān)系． |
（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)
如圖1，點(diǎn)E在BC上，BE：CE=1：2，BD與AE相交于點(diǎn)P，延長(zhǎng)BD至點(diǎn)F，使得BD=DF，連接AF，求
AP
PE
王林同學(xué)根據(jù)題意寫出了如下不完整的求解過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)全其過(guò)程．
| 解：設(shè)BE=k,則CE= 2k 2k ；∵BD是AC邊上的中線， ∴AD=CD； ∵在△BCD和△FAD中，
∴△BCD≌△FAD（ SAS SAS ）∴ ∠CBD ∠CBD =∠AFD ∠AFD ，∴BC∥FA；∴BC=FA=3k； 又∵BC∥FA， ∴△BPE∽△FPA； ∴ AP PE = AF BE 3 3 ． |
如圖2，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，AE與BD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，CE：BC=1：3，求
AP
PE
（3）拓展延伸
在（2）的探究結(jié)論下，若BC=4，AC=6，求BP的長(zhǎng)．
【考點(diǎn)】相似形綜合題．
【答案】2k；SAS；∠CBD；∠AFD；3
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：282引用：2難度：0.3
相似題
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1．【問(wèn)題原型】如圖（1）所示，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=a,AB的中點(diǎn)為F，將線段FB繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90得到線段BD，連接CD，過(guò)點(diǎn)D作BC邊上的高DE，易證△ABC∽△BDE，從而得到△BCD的面積為
．14a2
【初步探究】如圖（2）所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a,AB的中點(diǎn)為F．將線段FB繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到線段BD，連接CD．用含a的代數(shù)式表示△BCD的面積，并說(shuō)明理由．
【簡(jiǎn)單應(yīng)用】如圖（3）所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=a,AB的中點(diǎn)為F．將線段FB繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到線段BD，連接CD，直接寫出△BCD的面積（用含a的代數(shù)式表示）．
發(fā)布：2025/5/21 19:0:1組卷：149引用：1難度：0.2 -
2．如圖1，在正方形紙片ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)．將△ABE沿BE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，連結(jié)DF．
（1）求證：∠BEF=∠DFE；
（2）如圖2，延長(zhǎng)DF交BC于點(diǎn)G，求的值；DFDG
（3）如圖3，將△CDG沿DG折疊，此時(shí)點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H恰好落在BE上．若記△BEF和△DGH重疊部分的面積為S1，正方形ABCD的面積為S2，求的值．S1S2發(fā)布：2025/5/21 20:30:1組卷：818引用：4難度：0.1 -
3．華羅庚是我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，他推廣的優(yōu)選法，就是以黃金分割法為指導(dǎo)，用最可能少的試驗(yàn)次數(shù)，盡快找到生產(chǎn)和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中最優(yōu)方案的一種科學(xué)試驗(yàn)方法．黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，這個(gè)比例被公認(rèn)為最能引起美感的比例，因此被稱為黃金分割．如圖1，點(diǎn)B把線段AC分成兩部分，如果
，那么稱B為線段AC的黃金分割點(diǎn)，它們的比值為BCAB=ABAC．5-12
（1）如圖1，若BC=3，則AB的長(zhǎng)為 ；
（2）如圖2，用邊長(zhǎng)為20cm的正方形紙片進(jìn)行如下操作：對(duì)折正方形ABCD得到折痕EF，連接CE，將CB折疊到CE上，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，折痕為CG．延長(zhǎng)CG交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．求證：A是DM的黃金分割點(diǎn)；
（3）如圖3，在正方形ABCD的邊AD上任取一點(diǎn)E（AE＞DE），連接BE，作CF⊥BE，交AB于點(diǎn)F，延長(zhǎng)EF交CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，連接AP．若F為AB的黃金分割點(diǎn)，求cos∠BAP的值．發(fā)布：2025/5/21 22:30:1組卷：214引用：2難度：0.3