已知中心在原點，對稱軸為坐標軸的橢圓C的一個焦點F在拋物線y2=4x的準線上，且橢圓C過點P（1，32），直線與橢圓C交于A，B兩個不同點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線的斜率為12，且不過點P，設直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，求證：k1+k2為定值．
P
（
1
，
3
2
）
1
2
【考點】直線與橢圓的綜合．
【答案】（1）；
（2）證明：∵直線的斜率為，且不過點，∴可設直線．
聯立方程組
，消y得x2+mx+m2-3=0．又設A（x1，y1），B（x2，y2），
故有
，
所以
=
=
=，所以k1+k2為定值0．
x
2
4
+
y
2
3
=
1
（2）證明：∵直線的斜率為
1
2
P
（
1
，
3
2
）
l
：
y
=
1
2
x
+
m
（
m
≠
1
）
聯立方程組
x 2 4 + y 2 3 = 1 |
y = 1 2 x + m |
故有
Δ = m 2 - 4 （ m 2 - 3 ） ＞ 0 |
x 1 + x 2 = - m |
x 1 x 2 = m 2 - 3 |
所以
k
1
+
k
2
=
y
1
-
3
2
x
1
-
1
+
y
2
-
3
2
x
2
-
1
=
（
y
1
-
3
2
）
（
x
2
-
1
）
+
（
y
2
-
3
2
）
（
x
1
-
1
）
（
x
1
-
1
）
（
x
2
-
1
）
=
（
1
2
x
1
+
m
-
3
2
）
（
x
2
-
1
）
+
（
1
2
x
2
+
m
-
3
2
）
（
x
1
-
1
）
（
x
1
-
1
）
（
x
2
-
1
）
=
x
1
x
2
+
（
m
-
2
）
（
x
1
+
x
2
）
-
2
m
+
3
x
1
x
2
-
（
x
1
+
x
2
）
+
1
=
m
2
-
3
+
（
m
-
2
）
（
-
m
）
-
2
m
+
3
m
2
-
3
-
（
-
m
）
+
1
=
0
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：154引用：4難度：0.1
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