已知橢圓Γ：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，長軸長為4，A，B是Γ上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AF2垂直于x軸時(shí)，△ABF2的周長為4+13．
（1）求Γ的方程；
（2）已知Γ的離心率e＜22，直線AF2與Γ交于點(diǎn)M（異于點(diǎn)A），直線BF2與Γ交于點(diǎn)N（異于點(diǎn)B），證明：直線MN過定點(diǎn)．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
4
+
13
e
＜
2
2
【答案】（1）=1，或+y2=1；
（2）證明：由（1）得橢圓Γ的方程為=1，
①當(dāng)A、B是橢圓Γ的左右頂點(diǎn)時(shí)，則直線MN與x軸重合；
②當(dāng)A、B是橢圓Γ的上下頂點(diǎn)時(shí)，則A（0，），B（0，-），F(xiàn)1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），
∴直線AF2的方程為y=-x+，聯(lián)立直線AF2與橢圓Γ的方程得
，整理得5x2-8x=0，解得x=0或x=，
∴當(dāng)x=時(shí)，y=-，即M（，-），
同理可得直線BF2的方程為y=x-，聯(lián)立直線BF2與橢圓Γ的方程得5x2-8x=0，解得x=0或x=，
∴當(dāng)x=時(shí)，y=，即M（，），此時(shí)直線MN的方程為x=；
③當(dāng)A、B不是橢圓Γ的頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線MN的方程為x=my+n（m≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），
聯(lián)立直線MN與橢圓Γ的方程得
，整理得（3m2+4）y2+6mny+3n2-12=0
∴Δ=（6mn）2-4（3m2+4）（3n2-12）=144m2-48n2+192＞0，且y1+y2=-，y1?y2=，
設(shè)直線AF2的方程為x=k1y+1，且k1=，A（xA，yA），M（x1，y1），
聯(lián)立直線AF2與橢圓Γ的方程得
，整理得（3+4）y2+6k1y-9=0，此時(shí)Δ=36+36（3+4）=144+144＞0，
∴y1yA=，則yA=-①，
同理設(shè)直線BF2的方程為x=k2y+1，且k2=，B（-xA，-yA），
聯(lián)立直線BF2與橢圓Γ的方程得
，整理得（3+4）y2+6k2y-9=0，此時(shí)Δ=36+36（3+4）=144+144＞0，
∴-yA?y2=，則yA=②，
由①②得-=，即（3+4）y1+（3+4）y2=0，
∴3?y1+3?y2+4（y1+y2）=0，
又3?y1+3?y2=3[（）2?y1+（）2?y2]=3[+]=3[m2（y1+y2）+4m（n-1）+（n-1）2?]，
∴3m2（y1+y2）+12m（n-1）+3（n-1）2?+4（y1+y2）=0③，
將y1+y2=-，y1?y2=代入③得（3m2+4）?（-）+12m（n-1）+3（n-1）2?=0，即m（5n-8）=0，
∵m≠0，∴n=，即直線MN的方程為x=my+，則恒過定點(diǎn)（，0），
對于①：此時(shí)直線MN經(jīng)過定點(diǎn)（，0），符合題意，對于②：直線MN經(jīng)過定點(diǎn)（，0），
綜上所述，直線MN過定點(diǎn)（，0）．
x
2
4
+
y
2
3
x
2
4
（2）證明：由（1）得橢圓Γ的方程為
x
2
4
+
y
2
3
①當(dāng)A、B是橢圓Γ的左右頂點(diǎn)時(shí)，則直線MN與x軸重合；
②當(dāng)A、B是橢圓Γ的上下頂點(diǎn)時(shí)，則A（0，
3
3
∴直線AF2的方程為y=-
3
3
x 2 4 + y 2 3 = 1 |
y = - 3 x + 3 |
8
5
∴當(dāng)x=
8
5
3
3
5
8
5
3
3
5
同理可得直線BF2的方程為y=
3
3
8
5
∴當(dāng)x=
8
5
3
3
5
8
5
3
3
5
8
5
③當(dāng)A、B不是橢圓Γ的頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線MN的方程為x=my+n（m≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），
聯(lián)立直線MN與橢圓Γ的方程得
x 2 4 + y 2 3 = 1 |
x = my + n |
∴Δ=（6mn）2-4（3m2+4）（3n2-12）=144m2-48n2+192＞0，且y1+y2=-
6
mn
3
m
2
+
4
3
n
2
-
12
3
m
2
+
4
設(shè)直線AF2的方程為x=k1y+1，且k1=
x
1
-
1
y
1
聯(lián)立直線AF2與橢圓Γ的方程得
x 2 4 + y 2 3 = 1 |
x = k 1 y + 1 |
k
2
1
k
2
1
k
2
1
k
2
1
∴y1yA=
-
9
3
k
2
1
+
4
9
（
3
k
2
1
+
4
）
y
1
同理設(shè)直線BF2的方程為x=k2y+1，且k2=
x
2
-
1
y
2
聯(lián)立直線BF2與橢圓Γ的方程得
x 2 4 + y 2 3 = 1 |
x = k 2 y + 1 |
k
2
2
k
2
2
k
2
2
k
2
2
∴-yA?y2=
-
9
3
k
2
2
+
4
9
（
3
k
2
2
+
4
）
y
2
由①②得-
9
（
3
k
2
1
+
4
）
y
1
9
（
3
k
2
2
+
4
）
y
2
k
2
1
k
2
2
∴3
k
2
1
k
2
2
又3
k
2
1
k
2
2
x
1
-
1
y
1
x
2
-
1
y
2
（
m
y
1
+
n
-
1
）
2
y
1
（
m
y
2
+
n
-
1
）
2
y
2
y
1
+
y
2
y
1
?
y
2
∴3m2（y1+y2）+12m（n-1）+3（n-1）2?
y
1
+
y
2
y
1
?
y
2
將y1+y2=-
6
mn
3
m
2
+
4
3
n
2
-
12
3
m
2
+
4
6
mn
3
m
2
+
4
-
6
mn
3
n
2
-
12
∵m≠0，∴n=
8
5
8
5
8
5
對于①：此時(shí)直線MN經(jīng)過定點(diǎn)（
8
5
8
5
綜上所述，直線MN過定點(diǎn)（
8
5
【解答】
【點(diǎn)評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：144引用：4難度：0.4
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