已知橢圓E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）經過點A（0，-1），且離心率為32．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過點P（2，1）的直線與橢圓E交于不同兩點B、C求證：直線AB和AC的斜率之和為定值．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
3
2
【答案】（1）；
（2）證明：∵直線BC過P（2，1）且與橢圓有兩個不同交點，
∴直線BC的斜率一定存在且對于0，于是設直線方程為y-1=k（x-2），即y=kx-2k+1，
聯立
，得（4k2+1）x2-（16k2-8k）x+16k（k-1）=0，
Δ=（16k2-8k）2-4（4k2+1）（16k2-16k）＞0，
設B（x1，y1），C（x2，y2），
則，，
設直線AB和AC的斜率分別為k1，k2，
則==
=2k-，
∴直線AB和AC的斜率之和為定值1．
x
2
4
+
y
2
=
1
（2）證明：∵直線BC過P（2，1）且與橢圓有兩個不同交點，
∴直線BC的斜率一定存在且對于0，于是設直線方程為y-1=k（x-2），即y=kx-2k+1，
聯立
y = kx - 2 k + 1 |
x 2 + 4 y 2 = 4 |
Δ=（16k2-8k）2-4（4k2+1）（16k2-16k）＞0，
設B（x1，y1），C（x2，y2），
則
x
1
+
x
2
=
16
k
2
-
8
k
4
k
2
+
1
x
1
x
2
=
16
k
（
k
-
1
）
4
k
2
+
1
設直線AB和AC的斜率分別為k1，k2，
則
k
1
+
k
2
=
y
1
+
1
x
1
+
y
2
+
1
x
2
k
（
x
1
-
2
）
+
2
x
1
+
k
（
x
2
-
2
）
+
2
x
2
2
k
-
2
（
k
-
1
）
（
x
1
+
x
2
）
x
1
x
2
=2k-
16
k
（
k
-
1
）
（
2
k
-
1
）
16
k
（
k
-
1
）
=
2
k
-
（
2
k
-
1
）
=
1
∴直線AB和AC的斜率之和為定值1．
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：147引用：4難度：0.4
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