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2010年競賽輔導：三角形四心競賽講義

發布：2024/4/20 14:35:0

一、選擇題（共1小題，每小題4分，滿分4分）

1．設H為銳角△ABC的三條高AD、BE、CF的交點，若BC=a,AC=b,AB=c,則AH?AD+BH?BE+CH?CF等于（　　）
A．
1
2
（ab+bc+ca） B．
1
2
（a²+b²+c²）
C．
2
3
（ab+bc+ca） D．
2
3
（a²+b²+c²）
組卷：436引用：3難度：0.9
解析

二、解答題（共54小題，滿分0分）

2．已知：△ABC中，XX′，YY′，ZZ′分別是BC，AC，AB邊的垂直平分線，求證：XX′，YY′，
ZZ′相交于一點．
組卷：120引用：1難度：0.9
解析
3．如圖所示，在△ABC中，AB=AC，任意延長CA到P，再延長AB到Q，使AP=BQ，
求證：△ABC的外心O與點A、P、Q四點共圓．
組卷：507引用：3難度：0.1
解析
4．如圖所示，在△ABC的大邊AB上取AN=AC，BM=BC，點P為△ABC的內心，求證：∠MPN=∠A+∠B．
組卷：102引用：1難度：0.9
解析
5．AB為半圓O的直徑，其弦AF、BE相交于Q，過E、F分別作半圓的切線得交點P，求證：PQ⊥AB．
組卷：157引用：1難度：0.9
解析
6．已知：△ABC中，AX，BY，CZ分別是∠A，∠B，∠C的平分線，求證：AX，BY，CZ交于一點．
組卷：82引用：1難度：0.9
解析
7．如圖所示，在△ABC中，AB=AC，有一個圓內切于△ABC的外接圓，且與AB、AC分別相切于P、Q，求證：線段PQ的中點O是△ABC的內心．
組卷：270引用：1難度：0.5
解析
8．如圖所示，I為△ABC的內心，求證：△BIC的外心O與A、B、C四點共圓．
組卷：319引用：1難度：0.9
解析
9．在圓內接四邊形ABCD中，順次取△ABD，△ABC，△CDB、△CDA的內心O₁，O₂，O₃，O₄．求證：四邊形O₁O₂O₃O₄是一個矩形．
組卷：154引用：1難度：0.9
解析
10．△ABC中，I是內心，過I作DE直線交AB于D，交AC于E，且DE∥BC．求證：DE=DB+EC．
組卷：164引用：1難度：0.9
解析
11．已知：如圖，△ABC中，三邊上的高線分別是AX，BY，CZ，X，Y，Z為垂足，求證：AX，BY，CZ交于一點．
組卷：74引用：1難度：0.9
解析
12．設H是等腰三角形ABC的垂心．在底邊BC保持不變的情況下，讓頂點A至底邊BC的距離變小，問這時乘積S_△ABC?S_△HBC的值變大？變小？還是不變？證明你的結論．
組卷：146引用：2難度：0.5
解析
13．求證：銳角三角形的垂心H必為其垂足三角形的內心．
組卷：92引用：1難度：0.5
解析
14．如圖所示，已知△ABC的高AD、BE交于H，△ABC、△ABH的外接圓分別為⊙O和⊙O₁，求證：⊙O與⊙O₁的半徑相等．
組卷：270引用：1難度：0.5
解析
15．設G為△ABC的重心，D，E分別為AB，AC邊的中點，如果S_△ABC=1，那么S_△GDE=
．
組卷：56引用：1難度：0.7
解析
16．已知：△ABC中，AX，BY，CZ分別是BC，AC，AB邊上的中線，求證：AX，BY，CZ相交于一點G，并且AG：GX=2：1．
組卷：56引用：1難度：0.7
解析
17．已知G是△ABC的重心，過A、G的圓與BG切于G，CG的延長線交圓于D，求證：AG²=GC?GD．
組卷：1176引用：2難度：0.1
解析
18．設G是等腰△ABC底邊上的高、AD與腰AC上的中線BE的交點．若AD=18，BE=15，則這個等腰三角形的面積為多少？
組卷：43引用：1難度：0.5
解析