如圖所示，在△ABC中，AB=AC，任意延長CA到P，再延長AB到Q，使AP=BQ，
求證：△ABC的外心O與點A、P、Q四點共圓．
【答案】見試題解答內容
【解答】
【點評】
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發布：2024/4/20 14:35:0組卷：507引用：3難度：0.1
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1．綜合與實踐：
“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結論：對角互補的四邊形四個頂點共圓．該小組繼續利用上述結論進行探究．
提出問題：
如圖1所示，在線段AC同側有兩點B，D，連接AD，AB，BC，CD，如果∠B=∠D，那么A，B，C，D四點在同一個圓上．
探究展示：
如圖2所示，作經過點A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一點E（不與A，C重合），連接AE，CE，則∠AEC+∠D=180°，（依據1）
∵∠B=∠D，
∴∠AEC+∠B=180°，
∴點A，B，C，E四點在同一個圓上，（對角互補的四邊形四個頂點共圓）
∴點B，D在點A，C，E所確定的⊙O上，（依據2）
∴點A，B，C，D四點在同一個圓上；
反思歸納：
?（1）上述探究過程中的“依據1”、“依據2”分別是指什么？①圓內接四邊形對角互補；
②對角互補的四邊形四個頂點共圓；
③過不在同一直線上的三個點有且只有一個圓；
④經過兩點的圓的圓心在這兩點所連線段的垂直平分線上；
依據1：；（從框內選一個選項，直接填序號）
依據2：．（從框內選一個選項，直接填序號）
（2）如圖3所示，在四邊形ABCD中，∠1=∠2=80°，∠3=42°，則∠4的度數為 ．
?發布：2024/9/21 14:0:9組卷：278引用：1難度：0.4 -
2．請仔細閱讀以下材料：
定理一：一般地，如圖1，四邊形ABCD中，如果連接兩條對角線后形成的∠BAC=∠BDC，則A，B，C，D四點共圓．我們由定理可以進一步得出結論：∠BDA=∠BCA，∠DBC=∠DAC，∠ACD=∠ABD．
定理二：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．
溫馨提示：下面問題的關鍵地方或許能夠用到上述定理，如果用到，請直接運用相關結論；如果你有自己更好的做法，那就以自己的做法為主，只要正確，一樣得分．
探究問題：如圖2，在△ABC和△EFC中，AC=BC，EC=FC，∠ACB=∠ECF=90°，連接BF，AE交于點D，BF交AC于點H，連接CD．
（1）求證BF=AE；
（2）請直接寫出∠ADB=度，∠BDC=度；
（3）若∠DBC=15°，求證AH=2CD．發布：2024/8/6 8:0:9組卷：422引用：3難度：0.1 -
3．請閱讀以下材料，完成相應任務．
我們知道，過任意一個三角形的三個頂點能作一個圓，那么過任意一個四邊形的四個頂點能作一個圓嗎？李雷經過實踐探究發現了如下結論：
如果線段同側兩點（與線段在同一平面內）分別與線段兩端點的連線所組成的夾角相等，那么這兩點和線段兩端點四點共圓．下面是李雷證明上述命題的過程（不完整）．
已知：如圖1，點C，D是線段AB同側兩點，且∠ACB=∠ADB．
求證：點A，B，C，D四點共圓．
證明：作△ABC的外接圓⊙O，假設點D在⊙O外或在⊙O內．
如圖2，若點D在⊙O外．設AD與⊙O交于點E，連接BE，
則∠ACB=∠AEB（依據一），
又∵∠AEB=∠ADB+∠DBE（依據二），
∴∠ACB=∠ADB+∠DBE．
∴∠ACB＞∠ADB．這與已知條件“∠ACB=∠ADB”矛盾，故點D在⊙O外不成立；
如圖3，若點D在⊙O內，……
（請同學們補充完整省略的部分證明過程）
綜上所述，作△ABC的外接圓⊙O，點D在⊙O上，即點A，B，C，D四點共圓．
（1）填空：將材料中依據一、依據二補充完整；
依據一：；
依據二：．
（2）請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；
（3）填空：如圖4，在四邊形ABCD中，∠ABD=∠ACD，對角線AC，BD交于點E，E為AC中點，若BD=6，BE=4，則AC=．發布：2025/5/24 6:0:2組卷：698引用：1難度：0.3
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