已知O為坐標原點，曲線C₁：
x
2
a
2
-
y
2
=1（a＞0）和曲線C₂：
x
2
4
+
y
2
2
=1有公共點，直線l₁：y=k₁x+b₁與曲線C₁的左支相交于A、B兩點，線段AB的中點為M．
（1）若曲線C₁和C₂有且僅有兩個公共點，求曲線C₁的離心率和漸近線方程；
（2）若直線OM經過曲線C₂上的點
T
（
2
，-
1
）
，且a²為正整數，求a的值；
（3）若直線l₂：y=k₂x+b₂與曲線C₂相交于C、D兩點，且直線OM經過線段CD中點N，求證：
k
2
1
+
k
2
2
＞1．

【答案】（1）

，

=±

；
（2）a=1；
（3）證明見解析．

【解答】

【點評】

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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：251引用：1難度：0.5

相似題

1．點P在以F₁，F₂為焦點的雙曲線
E
：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（a＞0，b＞0）上，已知PF₁⊥PF₂，|PF₁|=2|PF₂|，O為坐標原點．
（Ⅰ）求雙曲線的離心率e；
（Ⅱ）過點P作直線分別與雙曲線漸近線相交于P₁，P₂兩點，且
O
P
1
?
O
P
2
=
-
27
4
，
2
P
P
1
+
P
P
2
=
0
，求雙曲線E的方程；
（Ⅲ）若過點Q（m,0）（m為非零常數）的直線l與（2）中雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點的兩點M、N，且
MQ
=
λ
QN
（λ為非零常數），問在x軸上是否存在定點G，使
F
1
F
2
⊥
（
GM
-
λ
GN
）
？若存在，求出所有這種定點G的坐標；若不存在，請說明理由．
發布：2024/12/29 10:0:1組卷：72引用：5難度：0.7
解析
2．已知兩個定點坐標分別是F₁（-3，0），F₂（3，0），曲線C上一點任意一點到兩定點的距離之差的絕對值等于2
5
．
（1）求曲線C的方程；
（2）過F₁（-3，0）引一條傾斜角為45°的直線與曲線C相交于A、B兩點，求△ABF₂的面積．
發布：2024/12/29 10:30:1組卷：102引用：1難度：0.9
解析
3．若過點（0，-1）的直線l與拋物線y²=2x有且只有一個交點，則這樣的直線有（　　）條．
A．1 B．2 C．3 D．4
發布：2024/12/29 10:30:1組卷：26引用：5難度：0.7
解析

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2．已知兩個定點坐標分別是F1（-3，0），F2（3，0），曲線C上一點任意一點到兩定點的距離之差的絕對值等于25．（1）求曲線C的方程；（2）過F1（-3，0）引一條傾斜角為45°的直線與曲線C相交于A、B兩點，求△ABF2的面積．