數學興趣小組在探究圓中圖形的性質時，用到了半徑是6的若干圓形紙片．
（1）如圖1，一張圓形紙片，圓心為O，圓上有一點A，折疊圓形紙片使得A點落在圓心O上，折痕交⊙O于B、C兩點，求∠BAC的度數．
（2）把一張圓形紙片對折再對折后得到如圖扇形，點M是弧PQ上一動點．
①如圖2，當點M是弧PQ中點時，在線段OP、OQ上各找一點E、F，使得△EFM是等邊三角形．試用尺規作出△EFM，不證明，但簡要說明作法，保留作圖痕跡．
②在①的條件下，取△EFM的內心N，則ON=2323．
③如圖3，當M在弧PQ上三等分點S、T之間（包括S、T兩點）運動時，經過興趣小組探究都可以作出一個△EFM是等邊三角形，取△EFM的內心N，請問ON的長度是否變化．如變化，請說明理由；如不變，請求出ON的長度．
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【考點】圓的綜合題．
【答案】
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【解答】
【點評】
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發布：2024/7/26 8:0:9組卷：347引用：2難度：0.4
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1．等腰三角形AFG中AF=AG，且內接于圓O，D、E為邊FG上兩點（D在F、E之間），分別延長AD、AE交圓O于B、C兩點（如圖1），記∠BAF=α，∠AFG=β．
（1）求∠ACB的大小（用α，β表示）；
（2）連接CF，交AB于H（如圖2）．若β=45°，且BC×EF=AE×CF．求證：∠AHC=2∠BAC；
（3）在（2）的條件下，取CH中點M，連接OM、GM（如圖3），若∠OGM=2α-45°，
①求證：GM∥BC，GM=BC；12
②請直接寫出的值．OMMC
發布：2025/6/7 16:0:2組卷：1490引用：8難度：0.1 -
2．已知，線段AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點H，點M是優弧CBD上的任意一點，AH=2，CH=4．
（1）如圖1，
①求⊙O的半徑；
②求sin∠CMD的值．
（2）如圖2，直線BM交直線CD于點E，直線MH交⊙O于點N，連結BN交CD于點F，求HE?FH的值．發布：2025/6/7 7:0:1組卷：476引用：2難度：0.3 -
3．如圖，四邊形OABC中，AO∥BC，∠AOC=90°，AO=3，AB=5．以O為圓心，OA為半徑作圓，⊙O經過點C，且與BA的延長線交于F．延長AO交圓于E，連接FC交AE于點D．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）求cos∠FAE的值；
（3）求線段OD的長．發布：2025/6/7 5:0:1組卷：79引用：1難度：0.3