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已知E在△ABC內部（如圖①），等邊三角形ABC的邊長為6，等邊三角形BDE的邊長為4，連結AE和DC．
（1）求證：AE=DC；
（2）當AE⊥BD時，求CD的長；
（3）將△BDE繞點B旋轉一周，F為DC的中點（如圖②），求旋轉過程中EF的取值范圍．

【考點】三角形綜合題．

【答案】見試題解答內容

【解答】

【點評】

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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：422引用：3難度：0.1

相似題

1．如圖1，△ABC和△CDE都是等邊三角形，且A，C，E在同一條直線上，分別連接AD，BE．
（1）求證：AD=BE；
（2）如圖2，連接BD，若M，N，Q分別為AB，DE，BD的中點，過N作NP⊥MN與MQ的延長線交于P，求證：MP=AD；
（3）如圖3，設AD與BE交于F點，點M在AB上，MG∥AD，交BE于H，交CF的延長線于G，試判斷△FGH的形狀．
發布：2025/5/24 17:0:2組卷：45引用：1難度：0.1
解析
2．仔細閱讀以下內容解決問題：第24屆國際數學家大會會標，設兩條直角邊的邊長為a,b,則面積為
1
2
ab,四個直角三角形面積和小于正方形的面積得：a²+b²≥2ab,當且僅當a=b時取等號．在a²+b²≥2ab中，若a＞0，b＞0，用
a
、
b
代替a,b得，a+b≥2
ab
，即
a
+
b
2
≥
ab
（*），我們把（*）式稱為基本不等式．利用基本不等式我們可以求這個式子的最大最小值．我們以“已知x為實數，求y=
x
2
+
4
x
2
+
1
的最小值”為例給同學們介紹．
解：由題知y=
x
2
+
1
+
3
x
2
+
1
=
x
2
+
1
+
3
x
2
+
1
，
∴
x
2
+
1
＞0，
3
x
2
+
1
＞0，
∴y=
x
2
+
1
+
3
x
2
+
1
≥
2
x
2
+
1
?
3
x
2
+
1
=
2
3
，當且僅當
x
2
+
1
=
3
x
2
+
1
時取等號，即當x=
2
時，函數的最小值為2
3
．
總結：利用基本不等式
a
+
b
2
≥
ab
（a＞0，b＞0）求最值，若ab為定值．則a+b有最小值．
請同學們根據以上所學的知識求下列函數的最值，并求出取得最值時相應x的取值．
（1）若x＞0，求y=2x+
2
x
的最小值；
（2）若x＞2，求y=x+
1
x
-
2
的最小值；
（3）若x≥0，求y=
x
+
4
x
+
13
x
+
2
的最小值．
發布：2025/5/24 19:30:1組卷：236引用：3難度：0.5
解析
3．（1）如圖1，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，E是AC上一點，AE=5，ED⊥AB，垂足為D，求AD的長．

（2）類比探究：如圖2，△ABC中，AC=14，BC=6，點D，E分別在線段AB，AC上，∠EDB=∠ACB=60°，DE=2．求AD的長．
（3）拓展延伸：如圖3，△ABC中，點D，點E分別在線段AB，AC上，∠EDB=∠ACB=60°．延長DE，BC交于點F，AD=4，DE=5，EF=6，DE＜BD，
BC
AC
=
；BD=
．
發布：2025/5/24 16:30:1組卷：1046引用：6難度：0.1
解析

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2023年浙江省寧波市海曙區中考數學一模試卷

已知E在△ABC內部（如圖①），等邊三角形ABC的邊長為6，等邊三角形BDE的邊長為4，連結AE和DC．（1）求證：AE=DC；（2）當AE⊥BD時，求CD的長；（3）將△BDE繞點B旋轉一周，F為DC的中點（如圖②），求旋轉過程中EF的取值范圍．

已知E在△ABC內部（如圖①），等邊三角形ABC的邊長為6，等邊三角形BDE的邊長為4，連結AE和DC．
（1）求證：AE=DC；
（2）當AE⊥BD時，求CD的長；
（3）將△BDE繞點B旋轉一周，F為DC的中點（如圖②），求旋轉過程中EF的取值范圍．