已知二次曲線Ck的方程：x29-k+y24-k=1．
（1）分別求出方程表示橢圓和雙曲線的條件；
（2）若雙曲線Ck與直線y=x+1有公共點且實軸最長，求雙曲線方程；
（3）m、n為正整數，且m＜n,是否存在兩條曲線Cm、Cn，其交點P與點F1（-5，0），F2（5，0）滿足PF1⊥PF2，若存在，求m、n的值；若不存在，說明理由．
x
2
9
-
k
+
y
2
4
-
k
=
1
F
1
（
-
5
，
0
）
，
F
2
（
5
，
0
）
【答案】（1）當且僅當k＜4時，方程表示橢圓；
當且僅當4＜k＜9時，方程表示雙曲線．
（2）=1；
（3）由（1）知C1，C2，C3是橢圓，C5，C6，C7，C8是雙曲線，結合圖象的幾何性質
任意兩橢圓之間無公共點，任意兩雙曲線之間無公共點
設|PF1|=d1，|PF2|=d2，m∈{1，2，3}，n∈{5，6，7，8}
由橢圓與雙曲線定義及=0；
所以m+n=8
所以這樣的Cm，Cn存在，且
或
或
．
當且僅當4＜k＜9時，方程表示雙曲線．
（2）
x
2
3
-
y
2
2
（3）由（1）知C1，C2，C3是橢圓，C5，C6，C7，C8是雙曲線，結合圖象的幾何性質
任意兩橢圓之間無公共點，任意兩雙曲線之間無公共點
設|PF1|=d1，|PF2|=d2，m∈{1，2，3}，n∈{5，6，7，8}
由橢圓與雙曲線定義及
P
F
1
?
P
F
2
d 1 + d 2 = 2 9 - m |
| d 1 - d 2 | = 2 9 - n |
d 1 2 + d 2 2 = 20 |
所以這樣的Cm，Cn存在，且
m = 1 |
n = 7 |
m = 2 |
n = 6 |
m = 3 |
n = 5 |
【解答】
【點評】
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發布：2024/4/20 14:35:0組卷：529引用：6難度：0.1
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