已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的離心率e=2，P1，P2分別為其兩條漸近線上的點，若滿足P1P=PP2的點P在雙曲線上，且△OP1P2的面積為8，其中O為坐標原點．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）過雙曲線C的右焦點F2的動直線與雙曲線相交于A，B兩點，在x軸上是否存在定點M，使MA?MB為常數？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
C
：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
e
=
2
P
1
P
=
P
P
2
MA
?
MB
【考點】雙曲線與平面向量．
【答案】（1）雙曲線的方程為：-=1；
（2）是，理由：
當直線AB的斜率不為0時，設直線AB的方程為：x=my+4，設A（x1，y1），B（x2，y2），
聯立
，整理可得：（m2-1）y2+8my+8=0，可得m2≠1，Δ=64m2-32（m2-1）＞0恒成立，
且y1+y2=，y1y2=，
假設存在M（x0，0）滿足條件，
則?=（x1-x0，y1）（x2-x0，y2）=（x1-x0）（x2-x0）+y1y2=（my1+4-x0）（my2+4-x0）+y1y2=（1+m2）y1y2+（4-x0）m（y1+y2）+（4-x0）2=+m（4-x0）?）+（4-x0）2
==，
要使?為定值，則=，解得x0=2，
即M（2，0）滿足條件使得?=-8=-4為常數；
當直線AB的斜率為0時，則直線AB的方程為y=0，則A（-2，0），B（2，0），M（2，0），
可得?=（2+2，0）（2-2，0）=（2+2）（2-2）=22-（2）2=-4，也成立，
綜上所述：M（2，0）滿足?為常數-4．
x
2
8
y
2
8
（2）是，理由：
當直線AB的斜率不為0時，設直線AB的方程為：x=my+4，設A（x1，y1），B（x2，y2），
聯立
x = my + 4 |
x 2 - y 2 = 8 |
且y1+y2=
-
8
m
m
2
-
1
8
m
2
-
1
假設存在M（x0，0）滿足條件，
則
MA
MB
（
1
+
m
2
）
8
m
2
-
1
-
8
m
m
2
-
1
=
8
（
1
+
m
2
）
-
8
m
2
（
4
-
x
0
）
+
（
4
-
x
0
）
2
（
m
2
-
1
）
m
2
-
1
（
x
0
2
-
8
）
m
2
-
（
x
0
2
-
8
x
0
+
8
）
m
2
-
1
要使
MA
MB
x
0
2
-
8
1
x
0
2
-
8
x
0
+
8
1
即M（2，0）滿足條件使得
MA
MB
x
2
0
當直線AB的斜率為0時，則直線AB的方程為y=0，則A（-2
2
2
可得
MA
MB
2
2
2
2
2
綜上所述：M（2，0）滿足
MA
MB
【解答】
【點評】
聲明：本試題解析著作權屬菁優網所有，未經書面同意，不得復制發布。
發布：2024/7/15 8:0:9組卷：554引用：11難度：0.6
相似題
-
1．雙曲線Γ：
的一條漸近線與圓：x2+y2=16交于第一象限的一點M，記雙曲線Γ的右焦點為F，左頂點為A，則x24-y212=1的值為（ ?。?/h2>MA?MF發布：2024/12/18 4:30:1組卷：73引用：4難度：0.7 -
2．F1、F2是雙曲線
的左、右焦點，點M為雙曲線E右支上一點，點N在x軸上，滿足∠F1MN=∠F2MN=60°，若E：x2a2-y2b2=1（a,b＞0），則雙曲線E的離心率為（ ?。?/h2>3MF1+5MF2=λMN（λ∈R）發布：2024/12/20 13:30:1組卷：268難度：0.5 -
3．已知雙曲線
的左、右焦點分別是F1，F2，雙曲線C上有兩點A，B滿足C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0），且OA+OB=0，若四邊形F1AF2B的周長l與面積S滿足∠F1AF2=2π3，則雙曲線C的離心率為（ ?。?/h2>3l2=80S發布：2024/12/10 1:0:1組卷：177引用：5難度：0.5