已知橢圓C1：x24+y23=1和雙曲線C2：x24-y23=1，過橢圓C1左焦點(diǎn)F且斜率為k的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)．設(shè)P是橢圓的右頂點(diǎn)，記直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，直線PA，PB與雙曲線C2的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M，N．
（1）求k1k2的值；
（2）求證：直線MN過定點(diǎn)．
C
1
：
x
2
4
+
y
2
3
=
1
C
2
：
x
2
4
-
y
2
3
=
1
【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合．
【答案】（1）-；
（2）證明：不妨設(shè)直線MN：y=mx+n，M（x3，y3），N（x4，y4），
聯(lián)立
，消去y并整理得（3-4m2）x2-8mnx-4n2-12=0，
由韋達(dá)定理得，，
由（1）知，
整理得8m2+2mn-n2=0，
即（4m-n）（2m+n）=0，
解得n=4m或n=-2m
所以直線MN的方程為y=mx+4m或y=mx-2m，
則直線MN過定點(diǎn)（-4，0）或（2，0）（舍）．
1
4
（2）證明：不妨設(shè)直線MN：y=mx+n，M（x3，y3），N（x4，y4），
聯(lián)立
y = mx + n |
x 2 4 - y 2 3 = 1 |
由韋達(dá)定理得
x
3
+
x
4
=
8
mn
3
-
4
m
2
x
3
x
4
=
-
4
n
2
-
12
3
-
4
m
2
由（1）知
k
1
k
2
=
y
3
x
3
-
2
?
y
4
x
4
-
2
=
（
m
x
3
+
n
）
（
m
x
4
+
n
）
（
x
3
-
2
）
（
x
4
-
2
）
=
m
2
x
3
x
4
+
mn
（
x
3
+
x
4
）
+
n
2
x
3
x
4
-
2
（
x
3
+
x
4
）
+
4
=
-
1
4
整理得8m2+2mn-n2=0，
即（4m-n）（2m+n）=0，
解得n=4m或n=-2m
所以直線MN的方程為y=mx+4m或y=mx-2m，
則直線MN過定點(diǎn)（-4，0）或（2，0）（舍）．
【解答】
【點(diǎn)評】
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發(fā)布：2024/7/21 8:0:9組卷：91引用：4難度：0.7
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-
1．已知兩個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)分別是F1（-3，0），F(xiàn)2（3，0），曲線C上一點(diǎn)任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對值等于2
．5
（1）求曲線C的方程；
（2）過F1（-3，0）引一條傾斜角為45°的直線與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，求△ABF2的面積．發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：102引用：1難度：0.9 -
2．點(diǎn)P在以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線
（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．E：x2a2-y2b2=1
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發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：26引用：5難度：0.7