設函數y=f（x）在區間D上的導函數為f'（x），且f'（x）在D上存在導函數f″（x）（其中f″（x）=[f'（x）]′）．定義：若區間D上f″（x）＜0恒成立，則稱函數f（x）在區間D上為凸函數．
已知函數f（x）=axcosx+b的圖像過點A（0，-1），且在點B（π2，f（π2））處的切線斜率為-π．
（1）判斷f（x）在區間（0，π2）上是否為凸函數，說明理由；
（2）求證：當x∈（0，π2）時，函數f（x）有兩個不同的零點．
B
（
π
2
，
f
（
π
2
）
）
（
0
，
π
2
）
x
∈
（
0
，
π
2
）
【考點】利用導數研究函數的單調性．
【答案】（1）f（x）在區間上是凸函數，理由見解析；
（2）證明見解析．
（
0
，
π
2
）
（2）證明見解析．
【解答】
【點評】
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