如圖，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，點(diǎn)E為邊AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)F，使AF=AE，且CF、DE、AH相交于點(diǎn)G．
（1）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)時(shí)，求證：△CDG≌△FEG；
（2）點(diǎn)H為邊CD上的點(diǎn)，判斷△ABH的形狀，并求sin∠BAH；
（3）當(dāng)CG=2時(shí)，求AE的長(zhǎng)．
【考點(diǎn)】四邊形綜合題．
【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解答；
（2）△ABH是直角三角形，理由見(jiàn)解答；sin∠BAH=；
（3）AE=．
（2）△ABH是直角三角形，理由見(jiàn)解答；sin∠BAH=
√
21
7
（3）AE=
4
3
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：67引用：1難度：0.1
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1．已知，在?ABCD中，E為AB上一點(diǎn)，且DE=2AD，作∠ADE的平分線交AB于點(diǎn)F．
（1）如圖1，當(dāng)E與B重合時(shí)，連接FC交BD于點(diǎn)G，若FC⊥CD，AF=3，求線段CF的長(zhǎng)．
（2）如圖2，當(dāng)CE⊥AB時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC于點(diǎn)H，交EC于點(diǎn)M．若G為FD中點(diǎn)，CE=2AF，求證：CD-3AG=EM．
（3）如圖3，在（1）的條件下，M為線段FC上一點(diǎn)，且CM=，P為線段CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線段MP繞著點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到線段MP′，連接FP′，直接寫(xiě)出FP′的最小值．√3
發(fā)布：2025/5/26 4:0:1組卷：481引用：2難度：0.1 -
2．如圖1，點(diǎn)O為矩形ABCD對(duì)角線AC的中點(diǎn)，AB=2，AD=2
．沿對(duì)角線AC將矩形剪開(kāi)得到△ADC與△A′BC′，將△A′BC′繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°（0＜α≤120），記BC′與OC的交點(diǎn)為P，如圖2．√3
（1）①在圖2中，連接OB，OD，BD，則△OBD的形狀為 ；
②連接A′C，求證：A′C=BD；
（2）求OP長(zhǎng)度的最小值；
（3）當(dāng)△OPC′的內(nèi)心在其一邊的垂直平分線上時(shí)，直接寫(xiě)出α的值．
發(fā)布：2025/5/26 4:30:1組卷：83引用：2難度：0.3 -
3．如圖，將矩形ABCD沿AF折疊，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)E處，過(guò)點(diǎn)E作EG∥CD交AF于點(diǎn)G，連接DG．
（1）求證：四邊形EFDG是菱形；
（2）探究線段EG、GF、AF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）若AG=6，EG=2，求BE的長(zhǎng)．√5發(fā)布：2025/5/26 5:0:1組卷：5059引用：11難度：0.1
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