已知平面上的動(dòng)點(diǎn)P（x,y）及兩定點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），直線(xiàn)PA，PB的斜率分別是k1，k2且k1?k2=-14．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）設(shè)直線(xiàn)l：y=kx+m與曲線(xiàn)C交于不同的兩點(diǎn)M，N．
①若OM⊥ON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），證明點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離為定值，并求出這個(gè)定值
②若直線(xiàn)BM，BN的斜率都存在并滿(mǎn)足kBM?kBN=-14，證明直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)．
k
1
?
k
2
=
-
1
4
k
BM
?
k
BN
=
-
1
4
【答案】（1）動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程是；
（2）證明：設(shè)點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立
，化為（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，
∴Δ=64k2m2-16（m2-1）（1+4k2）=16（1+4k2-m2）＞0．
∴，．
∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=，
①若OM⊥ON，則x1x2+y1y2=0，∴，
∴，化為，此時(shí)點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離d=．
②∵kBM?kBN=-，∴?=-，
∴x1x2-2（x1+x2）+4+4y1y2=0，
∴+，
代入化為，化簡(jiǎn)得m（m+2k）=0，解得m=0或m=-2k．
當(dāng)m=0時(shí)，直線(xiàn)l恒過(guò)原點(diǎn)；
當(dāng)m=-2k時(shí)，直線(xiàn)l恒過(guò)點(diǎn)（2，0），此時(shí)直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C最多有一個(gè)公共點(diǎn)，不符合題意，
綜上可知：直線(xiàn)l恒過(guò)定點(diǎn)（0，0）．
x
2
4
+
y
2
=
1
（
x
≠±
2
）
（2）證明：設(shè)點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立
y = kx + m |
x 2 + 4 y 2 = 4 |
∴Δ=64k2m2-16（m2-1）（1+4k2）=16（1+4k2-m2）＞0．
∴
x
1
+
x
2
=
-
8
km
1
+
4
k
2
x
1
x
2
=
4
m
2
-
4
1
+
4
k
2
∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=
k
2
x
1
x
2
+
km
（
x
1
+
x
2
）
+
m
2
①若OM⊥ON，則x1x2+y1y2=0，∴
（
1
+
k
2
）
x
1
x
2
+
km
（
x
1
+
x
2
）
+
m
2
=
0
∴
（
1
+
k
2
）
（
4
m
2
-
4
）
1
+
4
k
2
-
8
k
2
m
2
1
+
4
k
2
+
m
2
=
0
m
2
=
4
5
（
1
+
k
2
）
|
m
|
1
+
k
2
=
2
5
5
②∵kBM?kBN=-
1
4
y
1
x
1
-
2
y
2
x
2
-
2
1
4
∴x1x2-2（x1+x2）+4+4y1y2=0，
∴
x
1
x
2
-
2
（
x
1
+
x
2
）
+
4
+
4
k
2
x
1
x
2
4
km
（
x
1
+
x
2
）
+
4
m
2
=
0
代入化為
4
m
2
-
4
-
8
km
（
4
km
-
2
）
1
+
4
k
2
+
4
m
2
+
4
=
0
當(dāng)m=0時(shí)，直線(xiàn)l恒過(guò)原點(diǎn)；
當(dāng)m=-2k時(shí)，直線(xiàn)l恒過(guò)點(diǎn)（2，0），此時(shí)直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C最多有一個(gè)公共點(diǎn)，不符合題意，
綜上可知：直線(xiàn)l恒過(guò)定點(diǎn)（0，0）．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：641引用：5難度：0.5
相似題
-
1．點(diǎn)P在以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)
（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．E：x2a2-y2b2=1
（Ⅰ）求雙曲線(xiàn)的離心率e；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)分別與雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)相交于P1，P2兩點(diǎn)，且，OP1?OP2=-274，求雙曲線(xiàn)E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若過(guò)點(diǎn)Q（m,0）（m為非零常數(shù)）的直線(xiàn)l與（2）中雙曲線(xiàn)E相交于不同于雙曲線(xiàn)頂點(diǎn)的兩點(diǎn)M、N，且（λ為非零常數(shù)），問(wèn)在x軸上是否存在定點(diǎn)G，使MQ=λQN？若存在，求出所有這種定點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．F1F2⊥（GM-λGN）發(fā)布：2024/12/29 10:0:1組卷：72引用：5難度：0.7 -
2．已知兩個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)分別是F1（-3，0），F(xiàn)2（3，0），曲線(xiàn)C上一點(diǎn)任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于2
．5
（1）求曲線(xiàn)C的方程；
（2）過(guò)F1（-3，0）引一條傾斜角為45°的直線(xiàn)與曲線(xiàn)C相交于A、B兩點(diǎn)，求△ABF2的面積．發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：102引用：1難度：0.9 -
3．若過(guò)點(diǎn)（0，-1）的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)y2=2x有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則這樣的直線(xiàn)有（ ）條．
發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：26引用：5難度：0.7