已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的一個焦點為F1（-1，0），上頂點為B1，原點O到直線B1F1的距離為32．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若點T在圓x2+y2=2上，點A為橢圓的右頂點，是否存在過點A的直線l交橢圓C于點B（異于點A），使得OT=147（OA+OB）成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
3
2
OT
14
7
OA
+
OB
【考點】直線與橢圓的綜合．
【答案】（1）．
（2）假設(shè)存在過點A的直線l適合題意，則結(jié)合圖形易判斷知直線l的斜率必存在，
于是可設(shè)直線l的方程為y=k（x-2），
由
，得（3+4k2）x2-16k2x+16k2-12=0．（*）
因為點A是直線l與橢圓C的一個交點，且xA=2．
所以xA?xB=，所以xB=，
即點B（，-）．
所以=（，-），即=（，-）．
因為點T在圓x2+y2=2上，所以?[]=2，
化簡得48k4-8k2-21=0，解得k2=，所以k=±．
經(jīng)檢驗知，此時（*）對應(yīng)的判別式Δ＞0，滿足題意．
故存在滿足條件的直線l，其方程為y=±（x-2）．
x
2
4
+
y
2
3
=
1
（2）假設(shè)存在過點A的直線l適合題意，則結(jié)合圖形易判斷知直線l的斜率必存在，
于是可設(shè)直線l的方程為y=k（x-2），
由
x 2 4 + y 2 3 = 1 |
y = k （ x - 2 ） |
因為點A是直線l與橢圓C的一個交點，且xA=2．
所以xA?xB=
16
k
2
-
12
3
+
4
k
2
8
k
2
-
6
3
+
4
k
2
即點B（
8
k
2
-
6
3
+
4
k
2
12
k
3
+
4
k
2
所以
OA
+
OB
16
k
2
3
+
4
k
2
12
k
3
+
4
k
2
OT
14
7
16
k
2
3
+
4
k
2
12
k
3
+
4
k
2
因為點T在圓x2+y2=2上，所以
2
7
（
16
k
2
3
+
4
k
2
）
2
+
（
-
12
k
3
+
4
k
2
）
2
化簡得48k4-8k2-21=0，解得k2=
3
4
3
2
經(jīng)檢驗知，此時（*）對應(yīng)的判別式Δ＞0，滿足題意．
故存在滿足條件的直線l，其方程為y=±
3
2
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/10/8 12:0:1組卷：324引用：2難度：0.5
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