已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長為4，且點（1，32）在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)P是橢圓C長軸上的一個動點，過P作斜率為12的直線l交橢圓C于A、B兩點，求證：|PA|2+|PB|2為定值．
3
2
1
2
【答案】（1）+y2=1．
（2）證明：設(shè)P（m，0）（-2≤m≤2），由已知，直線l的方程是y=，
由
，消去y得，2x2-2mx+m2-4=0，（*）
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1、x2是方程（*）的兩個根，
所以有，x1+x2=m，x1x2=，
所以，|PA|2+|PB|2=（x1-m）2++（x2-m）2+
=（x1-m）2+（x1-m）2+（x2-m）2+（x2-m）2
=[（x1-m）2+（x2-m）2]
=[+-2m（x1+x2）+2m2]
=[（x1+x2）2-2m（x1+x2）-2x1x2+2m2]
=[m2-2m2-（m2-4）+2m2]=5（定值）．
所以，|PA|2+|PB|2為定值．
x
2
4
（2）證明：設(shè)P（m，0）（-2≤m≤2），由已知，直線l的方程是y=
x
-
m
2
由
y = 1 2 x - 1 2 m |
x 2 4 + y 2 = 1 |
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1、x2是方程（*）的兩個根，
所以有，x1+x2=m，x1x2=
m
2
-
4
2
所以，|PA|2+|PB|2=（x1-m）2+
y
2
1
y
2
2
=（x1-m）2+
1
4
1
4
=
5
4
=
5
4
x
2
1
x
2
2
=
5
4
=
5
4
所以，|PA|2+|PB|2為定值．
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：297引用：3難度：0.3
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-
1．點P在以F1，F(xiàn)2為焦點的雙曲線
（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O為坐標(biāo)原點．E：x2a2-y2b2=1
（Ⅰ）求雙曲線的離心率e；
（Ⅱ）過點P作直線分別與雙曲線漸近線相交于P1，P2兩點，且，OP1?OP2=-274，求雙曲線E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若過點Q（m,0）（m為非零常數(shù)）的直線l與（2）中雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點的兩點M、N，且（λ為非零常數(shù)），問在x軸上是否存在定點G，使MQ=λQN？若存在，求出所有這種定點G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．F1F2⊥（GM-λGN）發(fā)布：2024/12/29 10:0:1組卷：72引用：5難度：0.7 -
2．已知兩個定點坐標(biāo)分別是F1（-3，0），F(xiàn)2（3，0），曲線C上一點任意一點到兩定點的距離之差的絕對值等于2
．5
（1）求曲線C的方程；
（2）過F1（-3，0）引一條傾斜角為45°的直線與曲線C相交于A、B兩點，求△ABF2的面積．發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：102引用：1難度：0.9 -
3．若過點（0，-1）的直線l與拋物線y2=2x有且只有一個交點，則這樣的直線有（ ）條．
發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：26引用：5難度：0.7