已知函數(shù)f（x）=
e
x
-
a
x
-lnx+ln（a+1）（a＞0）（e是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）當a=1時，試判斷f（x）在（1，+∞）上極值點的個數(shù)；
（2）當a＞
1
e
-
1
時，求證：對任意x＞1，f（x）＞
1
a
．

【答案】（1）f（x）在（1，+∞）上只有一個極值點，即唯一極小值點；
（2）證明過程見解答．

【解答】

【點評】

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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：245引用：4難度：0.2

相似題

1．已知函數(shù)f（x）=（x-a）lnx（a∈R），它的導函數(shù)為f'（x）．
（1）當a=1時，求f'（x）的零點；
（2）若函數(shù)f（x）存在極小值點，求a的取值范圍．
發(fā)布：2024/12/29 13:0:1組卷：279引用：8難度：0.4
解析
2．若函數(shù)
f
（
x
）
=
e
2
x
4
-
ax
e
x
有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍為（　　）
A．
（
-
∞
，-
1
2
）
B．
（
-
1
2
，
0
）
C．
（
1
2
，
+
∞
）
D．
（
0
，
1
2
）
發(fā)布：2024/12/29 13:30:1組卷：124引用：4難度：0.5
解析
3．定義：設f'（x）是f（x）的導函數(shù)，f″（x）是函數(shù)f'（x）的導數(shù)，若方程f″（x）=0有實數(shù)解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“拐點”．經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”且“拐點”就是三次函數(shù)圖像的對稱中心，已知函數(shù)
f
（
x
）
=
a
x
3
+
b
x
2
+
5
3
（
ab
≠
0
）
的對稱中心為（1，1），則下列說法中正確的有（　　）
A．
a
=
1
3
，b=-1
B．函數(shù)f（x）既有極大值又有極小值
C．函數(shù)f（x）有三個零點
D．過
（
-
1
，
1
3
）
可以作兩條直線與y=f（x）圖像相切
發(fā)布：2024/12/29 13:30:1組卷：183引用：7難度：0.5
解析

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已知函數(shù)f（x）=ex-ax-lnx+ln（a+1）（a＞0）（e是自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）當a=1時，試判斷f（x）在（1，+∞）上極值點的個數(shù)；（2）當a＞1e-1時，求證：對任意x＞1，f（x）＞1a．