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設各項均為正數的數列{a_n}的前n項和為S_n，滿足4S_n=
a
2
n
+
1
-4n-1，n∈N*，且a₂，a₅，a₁₄成等比數列．
（Ⅰ）證明：a₂=
4
a
1
+
5
；
（Ⅱ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）求和：
1
a
1
a
2
+
1
a
2
a
3
+…+
1
a
n
a
n
+
1
．

【考點】數列的求和；數列遞推式．

【答案】（I）證明見解析；
（II）a_n=2n-1；
（Ⅲ）

．

【解答】

【點評】

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發布：2024/4/20 14:35:0組卷：64引用：1難度：0.5

相似題

1．十九世紀下半葉集合論的創立奠定了現代數學的基礎．著名的“康托三分集”是數學理性思維的構造產物，具有典型的分形特征其操作過程如下：將閉區間[0，1]均分為三段，去掉中間的區間段（
1
3
，
2
3
），記為第一次操作；再將剩下的兩個區[0，
1
3
]，[
2
3
，1]分別均分為三段，并各自去掉中間的區間段，記為第二次操作；…如此這樣，每次在上一次操作的基礎上，將剩下的各個區間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區間段．操作過程不斷地進行下去，以至無窮，剩下的區間集合即是“康托三分集”．若使去掉的各區間長度之和不小于
9
10
，則需要操作的次數n的最小值為（　　）（參考數據：lg2=0.3010，lg3=0.4771）
A．4 B．5 C．6 D．7
發布：2024/12/29 13:30:1組卷：143引用：17難度：0.6
解析
2．設數列{a_n}的前n項和是S_n，令
T
n
=
S
1
+
S
2
+
?
+
S
n
n
，稱T_n為數列a₁，a₂，…，a_n的“超越數”，已知數列a₁，a₂，…，a₅₀₄的“超越數”為2020，則數列5，a₁，a₂，…，a₅₀₄的“超越數”為（　　）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
發布：2024/12/29 9:0:1組卷：127引用：3難度：0.5
解析
3．定義
n
p
1
+
p
2
+
…
+
p
n
為n個正數p₁，p₂，…，p_n的“均倒數”．若已知數列{a_n}的前n項的“均倒數”
1
3
n
+
1
，又b_n=
a
n
+
2
6
，則
1
b
1
b
2
+
1
b
2
b
3
+…+
1
b
9
b
10
=（　　）
A．
1
11
B．
10
11
C．
9
10
D．
11
12
發布：2024/12/29 11:30:2組卷：120引用：1難度：0.7
解析

相關試卷

2021-2022學年四川省成都市天府新區高一（下）期末數學試卷（文科）

設各項均為正數的數列{an}的前n項和為Sn，滿足4Sn=a2n+1-4n-1，n∈N*，且a2，a5，a14成等比數列．（Ⅰ）證明：a2=4a1+5；（Ⅱ）求數列{an}的通項公式；（Ⅲ）求和：1a1a2+1a2a3+…+1anan+1．

2．設數列{an}的前n項和是Sn，令Tn=S1+S2+?+Snn，稱Tn為數列a1，a2，…，an的“超越數”，已知數列a1，a2，…，a504的“超越數”為2020，則數列5，a1，a2，…，a504的“超越數”為（ ）

3．定義np1+p2+…+pn為n個正數p1，p2，…，pn的“均倒數”．若已知數列{an}的前n項的“均倒數”13n+1，又bn=an+26，則1b1b2+1b2b3+…+1b9b10=（ ）

設各項均為正數的數列{a_n}的前n項和為S_n，滿足4S_n=
a
2
n
+
1
-4n-1，n∈N*，且a₂，a₅，a₁₄成等比數列．
（Ⅰ）證明：a₂=
4
a
1
+
5
；
（Ⅱ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）求和：
1
a
1
a
2
+
1
a
2
a
3
+…+
1
a
n
a
n
+
1
．

2．設數列{a_n}的前n項和是S_n，令
T
n
=
S
1
+
S
2
+
?
+
S
n
n
，稱T_n為數列a₁，a₂，…，a_n的“超越數”，已知數列a₁，a₂，…，a₅₀₄的“超越數”為2020，則數列5，a₁，a₂，…，a₅₀₄的“超越數”為（　　）

3．定義
n
p
1
+
p
2
+
…
+
p
n
為n個正數p₁，p₂，…，p_n的“均倒數”．若已知數列{a_n}的前n項的“均倒數”
1
3
n
+
1
，又b_n=
a
n
+
2
6
，則
1
b
1
b
2
+
1
b
2
b
3
+…+
1
b
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b
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=（　　）