已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的焦距為4，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構成正三角形．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設F為橢圓C的左焦點，T為直線x=-3上任意一點，過F作TF的垂線交橢圓C于點P，Q．
①證明：OT平分線段PQ（其中O為坐標原點）；
②當|TF||PQ|最小時，求點T的坐標．
x
2
a
2
y
2
b
2
|
TF
|
|
PQ
|
【考點】直線與圓錐曲線的綜合；橢圓的標準方程．
【答案】（1）+=1．
（2）設T（-3，t），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中點為N（x0，y0），
①證明：由F（-2，0），可設直線PQ的方程為x=my-2，則PQ的斜率．
由
?（m2+3）y2-4my-2=0，
所以
，
于是，從而，
即，則直線ON的斜率，
又由PQ⊥TF知，直線TF的斜率，得t=m．
從而，即kOT=kON，
所以O，N，T三點共線，從而OT平分線段PQ，故得證．
②（-3，1）或（-3，-1）．
x
2
6
y
2
2
（2）設T（-3，t），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中點為N（x0，y0），
①證明：由F（-2，0），可設直線PQ的方程為x=my-2，則PQ的斜率
k
PQ
=
1
m
由
x = my - 2 |
x 2 6 + y 2 2 = 1 |
所以
Δ = 16 m 2 + 8 （ m 2 + 3 ） = 24 （ m 2 + 1 ） ＞ 0 |
y 1 + y 2 = 4 m m 2 + 3 |
y 1 ? y 2 = - 2 m 2 + 3 |
于是
y
0
=
y
1
+
y
2
2
=
2
m
m
2
+
3
x
0
=
m
y
0
-
2
=
2
m
2
m
2
+
3
-
2
=
-
6
m
2
+
3
即
N
（
-
6
m
2
+
3
，
2
m
m
2
+
3
）
k
ON
=
-
m
3
又由PQ⊥TF知，直線TF的斜率
k
TF
=
t
-
0
-
3
+
2
=
-
1
k
PQ
=
-
1
1
m
從而
k
OT
=
t
-
3
=
-
m
3
=
k
ON
所以O，N，T三點共線，從而OT平分線段PQ，故得證．
②（-3，1）或（-3，-1）．
【解答】
【點評】
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發布：2024/4/20 14:35:0組卷：2463引用：23難度：0.5
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