已知動圓P過點F2（2，0），并且與圓F1：（x+2）2+y2=4相外切，設動圓的圓心P的軌跡為C．
（1）求曲線C的方程；
（2）過動點P作直線與曲線3x2-y2=0交于A、B兩點，當P為AB的中點時，求|OA|?|OB|的值；
（3）過點F2的直線l1與曲線C交于E、F兩點，設直線l：x=12，點D（-1，0），直線ED交l于點M，求證：直線FM經過定點，并求出該定點的坐標．
F
1
：
（
x
+
2
）
2
+
y
2
=
4
l
：
x
=
1
2
【考點】直線與圓錐曲線的綜合；軌跡方程．
【答案】（1）曲線C的方程為（x≥1）；
（2）4；
（3）①當斜率不存在時，l1：x=2 可知E（2，3），F（2，-3），
∵D（-1，0），所以直線ED：，
M（），所以直線FM： 即 y=-3（x-1）
所以直線恒過（1，0）；
②當斜率存在時，l1：y=k（x-2），
聯立雙曲線方程，消去y，可得 （3-k2）x2+4k2x-4k2-3=0，
設E（x1，y1），F（x2，y2）
根據韋達定理可得
，
則直線ED的方程為，當x=時，y=，M（）
設點N（1，0），若FM過定點N，則兩直線斜率相等．
即kFN=kMN，
，
，
所以FM恒過定點N（1，0），
∴綜上所述，直線FM恒過定點（1，0）．
x
2
-
y
2
3
=
1
（2）4；
（3）①當斜率不存在時，l1：x=2 可知E（2，3），F（2，-3），
∵D（-1，0），所以直線ED：
y
=
3
2
-
（
-
1
）
（
x
+
1
）
，
即
y
=
x
+
1
M（
1
2
，
3
2
y
+
3
=
-
3
-
3
2
2
-
1
2
（
x
-
2
）
所以直線恒過（1，0）；
②當斜率存在時，l1：y=k（x-2），
聯立雙曲線方程，消去y，可得 （3-k2）x2+4k2x-4k2-3=0，
設E（x1，y1），F（x2，y2）
根據韋達定理可得
x 1 + x 2 = - 4 k 2 3 - k 2 |
x 1 ? x 2 = - 4 k 2 - 3 3 - k 2 |
則直線ED的方程為
y
=
y
1
x
1
+
1
（
x
+
1
）
1
2
3
2
×
y
1
x
1
+
1
1
2
，
3
y
1
2
（
x
1
+
1
）
設點N（1，0），若FM過定點N，則兩直線斜率相等．
即kFN=kMN，
y
2
x
2
-
1
=
3
y
1
2
（
x
1
+
1
）
-
1
2
=
-
3
y
1
x
1
+
1
4
×
-
4
k
2
-
3
3
-
k
2
-
5
×
-
4
k
2
3
-
k
2
+
4
=
0
所以FM恒過定點N（1，0），
∴綜上所述，直線FM恒過定點（1，0）．
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：873引用：3難度：0.1
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