已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，|F1F2|=4，且a=2b.
（1）求C的方程；
（2）若A，B為C上的兩個動點，過F2且垂直x軸的直線平分∠AF2B，證明：直線AB過定點．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
2
【答案】（1）+=1；
（2）證明：由題意可得直線AB的斜率存在，F(xiàn)2（2，0），
設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
由
可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，
則Δ=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-8）=64k2-8m2+32＞0，
且x1+x2=-，x1x2=，
設(shè)直線F2A，F(xiàn)2B的傾斜角分別為α，β，
則α=π-β，k+k=+=0，代入y1=kx1+m，y2=kx2+m，
所以2kx1x2+（m-2k）x1x2-4m=0，
即有2k?+（2k-m）?-4m=0，
化簡可得m=-4k，
則直線AB的方程為y=kx-4k=k（x-4），
故直線AB過定點（4，0）．
x
2
8
y
2
4
（2）證明：由題意可得直線AB的斜率存在，F(xiàn)2（2，0），
設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
由
y = kx + m |
x 2 + 2 y 2 = 8 |
則Δ=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-8）=64k2-8m2+32＞0，
且x1+x2=-
4
km
1
+
2
k
2
2
m
2
-
8
1
+
2
k
2
設(shè)直線F2A，F(xiàn)2B的傾斜角分別為α，β，
則α=π-β，k
F
2
A
F
2
B
y
1
x
1
-
2
y
2
x
2
-
2
所以2kx1x2+（m-2k）x1x2-4m=0，
即有2k?
2
m
2
-
8
1
+
2
k
2
4
km
1
+
2
k
2
化簡可得m=-4k，
則直線AB的方程為y=kx-4k=k（x-4），
故直線AB過定點（4，0）．
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：412引用：11難度：0.5
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