【項目學習】配方法是數學中重要的一種思想方法，它是指將一個式子的某部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和的方法，這種方法常被用到代數式的變形中，并結合非負數的意義來解決一些問題．
例如，把二次三項式x2-2x+3進行配方
解：x2-2x+3=x2-2x+1+2=（x2-2x+1）+2=（x-1）2+2
我們定義：一個整數能表示成a2+b2（a,b是整數）的形式，則稱這個數為“完美數”．例如，5是“完美數”，理由：因為5=22+12，再如，M=x2+2xy+2y2=（x+y）2+y2，（x,y是整數）所以M也是“完美數”
【問題解決】
（1）下列各數中，“完美數”有 ①②④①②④．（填序號）
①10
②45
③28
④29
（2）若二次三項式x2-6x+13（x是整數）是“完美數”，可配方成（x-m）2+n（m,n為常數），則mn的值為 1212；
【問題探究】
（3）已知S=x2+9y2+8x-12y+k（x,y是整數，k是常數），要使S為“完美數”，試求出符合條件的k的值．
【問題拓展】
（4）已知實數x,y滿足-x2+7x+y-10=0，求x+y的最小值．
【考點】配方法的應用；非負數的性質：偶次方．
【答案】①②④；12
【解答】
【點評】
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發布：2024/4/20 14:35:0組卷：1155引用：4難度：0.6
相似題
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1．若x,y是等腰三角形的兩條邊，且滿足4x2+17y2-16xy-4y+4=0，求△ABC的周長．
發布：2025/6/3 13:0:1組卷：72引用：3難度：0.6 -
2．先閱讀下面的內容，再解決問題，
例題：若m2+2mn+2n2-6n+9=0，求m和n的值．
解：因為m2+2mn+2n2-6n+9=0，
所以m2+2mn+n2+n2-6n+9=0．
所以（m+n）2+（n-3）2=0．
所以m+n=0，n-3=0．
所以m=-3，n=3．
問題：（1）若x2+4y2+2xy-12y+12=0，求xy的值；
（2）已知a,b,c是等腰△ABC的三邊長，且a,b滿足a2+b2=10a+8b-41，求△ABC的周長．發布：2025/6/3 0:0:1組卷：455引用：4難度：0.6 -
3．閱讀下面的材料：
我們可以用配方法求一個二次三項式的最大值或最小值，例如：求代數式a2-2a+5的最小值．方法如下：
∵a2-2a+5=a2-2a+1+4=（a-1）2+4，由（a-1）2≥0，得（a-1）2+4≥4；
∴代數式a2-2a+5的最小值是4．
（1）仿照上述方法求代數式x2+10x+7的最小值；
（2）代數式-a2-8a+16有最大值還是最小值？請用配方法求出這個最值．發布：2025/6/3 16:30:1組卷：935引用：12難度：0.5