綜合與實(shí)踐
問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師出示了一個(gè)問題：
如圖1，在四邊形ABCD中，AB=BC，CH⊥AB，EB⊥BC，∠AGC=∠ABC，∠HCB=∠BDA．在圖中找出與∠BAD相等的角，并證明．
獨(dú)立思考：（1）請(qǐng)解答王老師提出的問題．
實(shí)踐探究：（2）在原有條件不變的情況下，王老師增加下面的條件，并提出了新問題，請(qǐng)你解答．
“若BD=mAB，AD=aCF，探究線段CF，DF，AC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明（用含有m,a的代數(shù)式表示）．”
問題解決：（3）數(shù)學(xué)活動(dòng)小組的同學(xué)對(duì)上述問題進(jìn)行特殊化研究之后發(fā)現(xiàn)，保留（1）條件，如果給出EF，CF，AD之間的數(shù)量關(guān)系，則圖2中所有已經(jīng)用字母標(biāo)記的任意兩條線段之間的比值均可求．該小組提出下面的問題，請(qǐng)你解答．
“如圖2，在（1）的條件下，若EF=kCF（0＜k＜1），AD=3CF，求GFBD的值（用含有k的代數(shù)式表示）．”
GF
BD
【考點(diǎn)】相似形綜合題．
【答案】（1）∠BAD=∠BCE=∠EBF，證明見解析過程；
（2）（a-1）2CF2+FD2=m2AC2，證明見解析過程；
（3）．
（2）（a-1）2CF2+FD2=m2AC2，證明見解析過程；
（3）
GF
BD
=
k
k
+
4
k
-
k
3
+
4
k
2
2
k
+
8
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/7/16 8:0:9組卷：86引用：2難度：0.5
相似題
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1．如圖，在矩形ABCD中，tan∠ABD=
，E是邊DC上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是線段DE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠EAF=∠ABD，AF與矩形對(duì)角線BD交于點(diǎn)G．34
（1）當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，如果AD=6，求DE的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)點(diǎn)F在線段DC的延長(zhǎng)線上，
①求的值；AGAE
②如果DE=3CF，求∠AED的余切值．
發(fā)布：2025/5/24 2:30:1組卷：479引用：1難度：0.2 -
2．[問題情境]
（1）王老師給愛好學(xué)習(xí)的小明和小穎提出這樣一個(gè)問題：如圖①，在△ABC中，AB=AC，P為邊BC上的任一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D，E，過點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F．求證：PD+PE=CF．
小明的證明思路是：
如圖②，連接AP，由△ABP與△ACP面積之和等于△ABC的面積可以證得：PD+PE=CF．
小穎的證明思路是：
如圖②，過點(diǎn)P作PG⊥CF，垂足為G，可以證得：PD=GF，PE=CG，則PD+PE=CF．
請(qǐng)你選擇小明、小穎兩種證明思路中的任意一種，寫出詳細(xì)的證明過程．
[變式探究]（2）如圖③，當(dāng)點(diǎn)P在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，問題情境中，其余條件不變，求證：PD-PE=CF．
[結(jié)論運(yùn)用]（3）如圖④，將矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)B上，點(diǎn)C落在點(diǎn)C'處，點(diǎn)P為折痕EF上的任一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PG⊥BE，PH⊥BG，垂足分別為G，H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值．
[遷移拓展]（4）圖⑤是一個(gè)機(jī)器模型的截面示意圖，在四邊形ABCD中，E為AB邊上的一點(diǎn)，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分別為D，C，且AD?CE=DE?BC，AB=2cm,AD=3cm,BD=13cm,MN分別為AE，BE的中點(diǎn)，連接DM，CN，請(qǐng)直接寫出△DEM與△CEN的周長(zhǎng)之和．37
發(fā)布：2025/5/24 0:30:1組卷：278引用：1難度：0.1 -
3．如圖，矩形ABCD中AB=10，AD=6，點(diǎn)E為AB邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），把△ADE沿DE翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G，延長(zhǎng)EG交直線DC于點(diǎn)F，再把△BEH沿EH翻折，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)T落在EF上，折痕EH交直線BC于點(diǎn)H．
（1）求證：△GDE∽△TEH；
（2）若點(diǎn)G落在矩形ABCD的對(duì)稱軸上，求AE的長(zhǎng)；
（3）是否存在點(diǎn)T落在DC邊上？若存在，求出此時(shí)AE的長(zhǎng)度，若不存在，請(qǐng)說明理由．發(fā)布：2025/5/24 4:30:1組卷：599引用：3難度：0.3