阿基米德是有史以來最偉大的數學家之一．他與牛頓、高斯并稱為三大數學王子．在后世的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內容．前蘇聯(lián)在1964年根據阿爾?比魯尼本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德的折弦定理．
【定理內容】一個圓中一條由兩長度不同的弦組成的折弦所對的兩段弧的中點在較長弦上的射影，就是折弦的中點．
【定理模型】如圖①，已知AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是⊙O的一條折弦），BC＞AB，M是?ABC的中點，那么從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點，即CD=AB+BD．
下面是運用“補短法”證明CD=AB+BD的部分證明過程：
如圖②，延長DB至點F．使BF=BA，連接MF，MB，MC，MA，AC，…
【定理證明】按照上面思路，寫出剩余部分的證明過程．
【問題解決】如圖③，△ABC內接于⊙O，已知AB=AC=22，D為?AC上一點，連接AD，DC，∠ABD=45°，∠CBD=15°，求△BDC的周長．
?
ABC
2
?
AC
【考點】圓的綜合題．
【答案】【定理證明】見解析；
【問題解決】4+2．
【問題解決】4+2
2
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：323難度：0.3
相似題
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1．如圖是小宇同學的錯題積累本的部分內容，請仔細閱讀，并完成相應的任務．
任務：x年x月x日星期日
錯題積累
在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于點D，
O是AB上一點，且⊙O經過B，D兩點，分別交AB，BC于
點E，F．
…
[自勉]
讀書使人頭腦充實，討論使人明辨是非，做筆記則能使知識精確．
——培根
（1）使用直尺和圓規(guī)，根據題目要求補全圖形（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）求證：⊙O與AC相切于點D；
（3）若CD=，∠BDC=60°，則劣弧3的長為 ．?ED發(fā)布：2025/5/24 1:30:2組卷：125引用：2難度：0.2 -
2．【問題提出】如圖1，AB為⊙O的一條弦，點C在弦AB所對的優(yōu)弧上運動時，根據圓周角性質，我們知道∠ACB的度數不變．愛動腦筋的小芳猜想，如果平面內線段AB的長度已知，∠ACB的大小確定，那么點C是不是在某個確定的圓上運動呢？
【問題探究】為了解決這個問題，小芳先從一個特殊的例子開始研究．如圖2，若AB=4，線段AB上方一點C滿足∠ACB=45°，為了畫出點C所在的圓，小芳以AB為底邊構造了一個Rt△AOB，再以點O為圓心，OA為半徑畫圓，則點C在⊙O上．后來小芳通過逆向思維及合情推理，得出一個一般性的結論．即：若線段AB的長度已知，∠ACB的大小確定，則點C一定在某一個確定的圓上，即定弦定角必定圓，我們把這樣的幾何模型稱之為“定弦定角”模型．
【模型應用】
（1）若AB=6，平面內一點C滿足∠ACB=60°，若點C所在圓的圓心為O，則∠AOB=，劣弧AB的長為 ．
（2）如圖3，已知正方形ABCD以AB為腰向正方形內部作等腰△ABE，其中AB=AE，過點E作EF⊥AB于點F，若點P是△AEF的內心．
①求∠BPE的度數；
②連接CP，若正方形ABCD的邊長為4，求CP的最小值．發(fā)布：2025/5/24 1:30:2組卷：547難度：0.5 -
3．（1）如圖1，⊙A的半徑為1，AB=2.5，點P為⊙A上任意一點，則BP的最小值為 ；
（2）如圖2，已知矩形ABCD，點E為AB上方一點，連接AE，BE，作EF⊥AB于點F，點P是△BEF的內心，求∠BPE的度數；
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接AP，CP，若矩形的邊長AB=8，BC=4，BE=BA，求此時CP的最小值．
發(fā)布：2025/5/24 1:30:2組卷：206引用：1難度：0.3