已知橢圓C：x2a2+y2b2=1的右焦點為（1，0），且經過點A（0，1）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設O為原點，直線l：y=kx+t（t≠±1）與橢圓C交于兩個不同點P、Q，直線AP與x軸交于點M，直線AQ與x軸交于點N．若|OM|?|ON|=2，求證：直線l經過定點．
x
2
a
2
y
2
b
2
【考點】直線與圓錐曲線的綜合．
【答案】（Ⅰ）+y2=1；
（Ⅱ）證明：y=kx+t與橢圓方程x2+2y2=2聯立，可得（1+2k2）x2+4ktx+2t2-2=0，
設P（x1，y1），Q（x2，y2），
Δ=16k2t2-4（1+2k2）（2t2-2）＞0，x1+x2=-，x1x2=，
AP的方程為y=x+1，令y=0，可得x=，即M（，0）；
AQ的方程為y=x+1，令y=0，可得x=．即N（，0）．
（1-y1）（1-y2）=1+y1y2-（y1+y2）=1+（kx1+t）（kx2+t）-（kx1+kx2+2t）
=（1+t2-2t）+k2?+（kt-k）?（-）=，
|OM|?|ON|=2，即為|?|=2，
即有|t2-1|=（t-1）2，由t≠±1，解得t=0，滿足Δ＞0，
即有直線l方程為y=kx，恒過原點（0，0）．
x
2
2
（Ⅱ）證明：y=kx+t與橢圓方程x2+2y2=2聯立，可得（1+2k2）x2+4ktx+2t2-2=0，
設P（x1，y1），Q（x2，y2），
Δ=16k2t2-4（1+2k2）（2t2-2）＞0，x1+x2=-
4
kt
1
+
2
k
2
2
t
2
-
2
1
+
2
k
2
AP的方程為y=
y
1
-
1
x
1
x
1
1
-
y
1
x
1
1
-
y
1
AQ的方程為y=
y
2
-
1
x
2
x
2
1
-
y
2
x
2
1
-
y
2
（1-y1）（1-y2）=1+y1y2-（y1+y2）=1+（kx1+t）（kx2+t）-（kx1+kx2+2t）
=（1+t2-2t）+k2?
2
t
2
-
2
1
+
2
k
2
4
kt
1
+
2
k
2
（
t
-
1
）
2
1
+
2
k
2
|OM|?|ON|=2，即為|
x
1
1
-
y
1
x
2
1
-
y
2
即有|t2-1|=（t-1）2，由t≠±1，解得t=0，滿足Δ＞0，
即有直線l方程為y=kx，恒過原點（0，0）．
【解答】
【點評】
聲明：本試題解析著作權屬菁優網所有，未經書面同意，不得復制發布。
發布：2024/7/31 8:0:9組卷：7230引用：18難度：0.5
相似題
-
1．已知兩個定點坐標分別是F1（-3，0），F2（3，0），曲線C上一點任意一點到兩定點的距離之差的絕對值等于2
．5
（1）求曲線C的方程；
（2）過F1（-3，0）引一條傾斜角為45°的直線與曲線C相交于A、B兩點，求△ABF2的面積．發布：2024/12/29 10:30:1組卷：102引用：1難度：0.9 -
2．點P在以F1，F2為焦點的雙曲線
（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O為坐標原點．E：x2a2-y2b2=1
（Ⅰ）求雙曲線的離心率e；
（Ⅱ）過點P作直線分別與雙曲線漸近線相交于P1，P2兩點，且，OP1?OP2=-274，求雙曲線E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若過點Q（m,0）（m為非零常數）的直線l與（2）中雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點的兩點M、N，且（λ為非零常數），問在x軸上是否存在定點G，使MQ=λQN？若存在，求出所有這種定點G的坐標；若不存在，請說明理由．F1F2⊥（GM-λGN）發布：2024/12/29 10:0:1組卷：72引用：5難度：0.7 -
3．若過點（0，-1）的直線l與拋物線y2=2x有且只有一個交點，則這樣的直線有（ ）條．
發布：2024/12/29 10:30:1組卷：26引用：5難度：0.7