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          已知橢圓C:
          x
          2
          a
          2
          +
          y
          2
          b
          2
          =
          1
          a
          b
          0
          的離心率為
          2
          2
          ,上頂點為A,右頂點為 B.點P(
          2
          3
          ,0)在橢圓C內,且直線AP與直線
          2
          x
          -
          3
          y
          =
          0
          垂直.
          (1)求C的方程;
          (2)設過點P的直線交C于M,N兩點,求證:以MN為直徑的圓過點B.

          【答案】(1)
          x
          2
          4
          +
          y
          2
          2
          =
          1

          (2)證明:由(1)知,B(2,0),
          當直線MN的斜率為0時,線段MN即為橢圓C的長軸,M或N與B重合,
          則以MN為直徑的圓過點B,
          當直線MN的斜率不為0時,設其方程為x=my+
          2
          3

          聯立方程
          x
          =
          my
          +
          2
          3
          x
          2
          4
          +
          y
          2
          2
          =
          1
          ,消去x得
          my
          +
          2
          3
          2
          4
          +
          y
          2
          2
          =
          1

          整理得
          m
          2
          +
          2
          y
          2
          +
          4
          m
          3
          y
          -
          32
          9
          =
          0
          ,設M(x1,y1),N(x2,y2),
          y
          1
          +
          y
          2
          =
          -
          4
          m
          3
          m
          2
          +
          2
          y
          1
          y
          2
          =
          -
          32
          9
          m
          2
          +
          2

          所以(x1-2)(x2-2)=
          m
          y
          1
          -
          4
          3
          m
          y
          2
          -
          4
          3
          =
          m
          2
          y
          1
          y
          2
          -
          4
          m
          3
          y
          1
          +
          y
          2
          +
          16
          9
          =
          32
          9
          m
          2
          +
          2

          所以
          BM
          ?
          BN
          =(x1-2)(x2-2)+y1y2=0,
          所以BM⊥BN,即以MN為直徑的圓過點B.
          【解答】
          【點評】
          聲明:本試題解析著作權屬菁優網所有,未經書面同意,不得復制發布。
          發布:2024/10/9 12:0:1組卷:120引用:3難度:0.6
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            y
            2
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            發布:2024/12/18 3:30:1組卷:456引用:3難度:0.6
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