如圖，正方形ABPD的邊長為1，△DPC是一個直角邊長為1的等腰直角三角形，把正方形ABPD和△DPC拼成一個如圖所示的直角梯形，E、F分別為線段DP、CP上兩個動點（不與D、P、C重合），且DE=CF，BE的延長線分別交DF、DC于H、G．
（1）求證：
①△BPE≌△DPF；
②BG⊥DF．
（2）設DE=x,試問：是否存在這樣x的值，使得DF和EG互相垂直平分，若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．
【考點】四邊形綜合題．
【答案】（1）①證明見解答過程；②證明見解答過程；
（2）存在，x=2-，理由見解答過程．
（2）存在，x=2-
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【解答】
【點評】
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發布：2024/6/4 8:0:5組卷：76引用：1難度：0.4
相似題
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1．如圖，菱形ABCD中，AB=6cm,∠ADC=60°，點E從點D出發，以1cm/s的速度沿射線DA運動，同時點F從點A出發，以1cm/s的速度沿射線AB運動，連接CE、CF和EF，設運動時間為t（s）．
（1）當t=3s時，連接AC與EF交于點G，如圖①所示，則EF=cm；
（2）當E、F分別在線段AD和AB上時，如圖②所示，
①求證：△CEF是等邊三角形；
②連接BD交CE于點G，若BG=BC，求EF的長和此時的t值．
（3）當E、F分別運動到DA和AB的延長線上時，如圖③所示，若EF=3cm,直接寫出此時t的值．6
發布：2025/6/8 20:30:2組卷：307引用：7難度：0.2 -
2．小明學習了特殊的四邊形后，對特殊四邊形的探究產生了興趣，發現另外一類特殊四邊形，如圖1，我們把兩條對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．
（1）概念理解：在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四邊形的是 ．
（2）性質探究：通過探究，直接寫出垂美四邊形ABCD的面積S與兩條對角線AC、BD之間的數量關系：．
（3）問題解決：如圖2，分別以Rt△ABC的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連結BG、CE交于點N，CE交AB于點M，連結GE．
①求證：四邊形BCGE為垂美四邊形；
②已知AC=4，AB=5，則四邊形BCGE的面積為 ．發布：2025/6/8 20:0:1組卷：277引用：4難度：0.4 -
3．在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF．解答下列問題：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，
①如圖1，當點D在線段BC上時（與點B不重合），線段CF、BD之間的位置關系為 ；數量關系為 ．
②如圖2，當點D在線段BC的延長線上時，①中的結論是否仍然成立，并說明理由．
（2）如圖3，如果AB＜AC，∠BAC＜90°，點D在線段BC上運動（與點B不重合）．
試探究：當∠ACB=45°時，（1）中的CF，BD之間的位置關系是否仍然成立，并說明理由．
發布：2025/6/8 20:30:2組卷：161引用：3難度：0.3