在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BCAC=mn，CD⊥AB于點D，點E是直線AC上一動點，連接DE，過點D作DF⊥DE，交直線BC于點F．
（1）[探究發現]：如圖①，若m=n,點E在線段AC上，猜想DE與DF的數量關系，并說明理由；
（2）[數學思考]：①如圖②，若點E在線段AC上，求證：DEDF=nm；
②當點E在直線AC上運動時，數學思考①中的結論是否仍然成立？請僅就圖③的情形給出證明；
（3）[拓展應用]：若AC=5，BC=25，DF=42，求CE的長．（可結合題意，另行畫圖）
BC
AC
=
m
n
DE
DF
=
n
m
5
5
2
【考點】三角形綜合題．
【答案】（1）DE=DF，理由見解答；（2）①證明見解答；②仍然成立，證明見解答；（3）CE=2或CE=．
5
2
5
5
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：306引用：2難度：0.2
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1．如圖1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，點E，F分別為AB，AC的中點，H為線段EF上一動點（不與點E，F重合），將線段AH繞點A逆時針方向旋轉90°得到AG，連接GC，HB．
（1）證明：△AHB≌△AGC；
（2）如圖2，連接GF，HG，HG交AF于點Q．
①證明：在點H的運動過程中，總有∠HFG=90°；
②若AB=AC=4，當EH的長度為多少時△AQG為等腰三角形？
發布：2025/5/21 11:30:1組卷：1879引用：13難度：0.1 -
2．一副三角板如圖1擺放，∠C=∠DFE=90°，∠B=30°，∠E=45°，點F在BC上，點A在DF上，且AF平分∠CAB，現將三角板DFE繞點F順時針旋轉（當點D落在射線FB上時停止旋轉）．
（1）當∠AFD=°時，DF∥AC；當∠AFD=°時，DF⊥AB；
（2）在旋轉過程中，DF與AB的交點記為P，如圖2，若△AFP有兩個內角相等，求∠APD的度數；
（3）當邊DE與邊AB、BC分別交于點M、N時，如圖3，若∠AFM=2∠BMN，比較∠FMN與∠FNM的大小，并說明理由．
發布：2024/12/23 18:30:1組卷：1770引用：10難度：0.1 -
3．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2α（45°＜α＜90°）D是BC的中點，E是BD的中點，連接AE．將射線AE繞點A逆時針旋轉α得到射線AM，過點E作EF⊥AE交射線AM于點F．
（1）①依題意補全圖形；
②求證：∠B=∠AFE；
（2）連接CF，DF，用等式表示線段CF，DF之間的數量關系，并證明．發布：2025/5/21 13:0:1組卷：1772引用：5難度：0.3