已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F1，F2，點P是橢圓C上一點，若PF1⊥PF2，|F1F2|=23，△PF1F2的面積為1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若A，B分別為橢圓上的兩點，且OA⊥OB，求證：1|OA|2+1|OB|2為定值，并求出該定值．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
3
1
|
OA
|
2
+
1
|
OB
|
2
【考點】根據橢圓的幾何特征求標準方程；直線與橢圓的綜合．
【答案】（I）=1；
（Ⅱ）（i）當A，B是橢圓頂點時，+=，
（ii）當A，B不是橢圓頂點時，設lOA：y=kx，lOB：y=-，
由
，得，|OA|2=，
同理，|OB|2=，
=+==．
綜上，為定值，．
x
2
4
+
y
2
（Ⅱ）（i）當A，B是橢圓頂點時，
1
|
OA
|
2
1
|
OB
|
2
1
4
+
1
=
5
4
（ii）當A，B不是橢圓頂點時，設lOA：y=kx，lOB：y=-
1
k
x
由
y = kx |
x 2 4 + y 2 = 1 |
x
A
=
4
4
k
2
+
1
4
k
2
+
4
4
k
2
+
1
同理
x
B
=
4
k
2
k
2
+
4
4
k
2
+
4
k
2
+
4
1
|
OA
|
2
+
1
|
OB
|
2
4
k
2
+
1
4
k
2
+
4
k
2
+
4
4
k
2
+
4
5
k
2
+
5
4
k
2
+
4
5
4
綜上，
1
|
OA
|
2
+
1
|
OB
|
2
5
4
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：337引用：3難度：0.5
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