在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的離心率為63，且過點（0，-2）．
（1）求C的方程；
（2）若動點P在直線l：x=-22上，過P作直線交橢圓C于M，N兩點，使得PM=PN，再過P作直線l′⊥MN，證明：直線l′恒過定點，并求出該定點的坐標．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
6
3
2
【考點】直線與橢圓的綜合．
【答案】（1）+=1．
（2）因為直線l的方程為x=-2，設P（-2，y0），y0∈（-，），
當y0≠0時，設 M（x1，y1）、N （x2，y2），顯然x1≠x2，
聯立
，相減可得（-）+（-）=0，即=-?
又PM=PN，即P為線段MN的中點，
故直線MN的斜率-?=，
又l′⊥MN，所以直線l′的方程為y-y0=-（x+2），
即y=-（x+），
顯然l′恒過定點（-，0），
當y0=0時，l′為x軸亦過點（-，0）；
綜上所述，l′恒過定點（-，0）．
x
2
12
y
2
4
（2）因為直線l的方程為x=-2
2
2
2
3
3
2
3
3
當y0≠0時，設 M（x1，y1）、N （x2，y2），顯然x1≠x2，
聯立
x 2 1 12 + y 2 1 4 = 1 |
x 2 2 12 + y 2 2 4 = 1 |
1
12
x
2
1
x
2
2
1
4
y
2
1
y
2
2
y
1
-
y
2
x
1
-
x
2
1
3
x
1
+
x
2
y
1
+
y
2
又PM=PN，即P為線段MN的中點，
故直線MN的斜率-
1
3
-
2
2
y
0
2
2
3
y
0
又l′⊥MN，所以直線l′的方程為y-y0=-
2
2
3
y
0
2
即y=-
3
y
0
2
2
4
2
3
顯然l′恒過定點（-
4
2
3
當y0=0時，l′為x軸亦過點（-
4
2
3
綜上所述，l′恒過定點（-
4
2
3
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：128引用：3難度：0.4
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