如圖所示，拋物線y=ax2+bx+4（a≠0）經過點A（-1，0），點B（4，0），與y軸交于點C，連接AC，BC．點M是線段OB上不與點O、B重合的點，過點M作DM⊥x軸，交拋物線于點D，交BC于點E．
（1）求拋物線的表達式；
（2）過點D作DF⊥BC，垂足為點F．設M點的坐標為M（m,0），請用含m的代數式表示線段DF的長，并求出當m為何值時DF有最大值，最大值是多少？
（3）試探究是否存在這樣的點E，使得以A，C，E為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請求出此時點E的坐標；若不存在，請說明理由．
【考點】二次函數綜合題．
【答案】（1）拋物線的表達式為：y=-x2+3x+4；
（2）DF=-（m-2）2+2，當m=2時，DF有最大值為2；
（3）存在．點E的坐標為（，）或（3，1）或（，）．
（2）DF=-
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（3）存在．點E的坐標為（
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【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：835引用：4難度：0.3
相似題
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1．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸相交于A，B兩點，點C（2，-4）在拋物線上，且△ABC是等腰直角三角形．
（1）求拋物線的解析式；
（2）過點D（2，0）的直線與拋物線交于點M，N，試問：以線段MN為直徑的圓是否過定點？證明你的結論．發布：2025/5/25 21:30:1組卷：179引用：1難度：0.2 -
2．已知拋物線y=-ax2+4ax+5經過點（-1，0）．
（1）求拋物線的解析式及頂點坐標；
（2）點P（0，m）是y軸上的一個動點，過點P作垂直于y軸的直線交拋物線于點A（x1，y1）和點B（x2，y2），且x1＜x2．
①若x2-x1=3，求m的值；
②把直線PB上方的函數圖象，沿直線PB向下翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象，當新圖象與x軸有四個交點時，直接寫出m的取值范圍．發布：2025/5/25 22:0:1組卷：386引用：1難度：0.4 -
3．已知拋物線y=ax2+bx-3與x軸交于點A（-1，0），B（3，0），與y軸交于點C．
（1）求拋物線的函數解析式．
（2）如圖1，點D在拋物線上，過點D作DF⊥x軸，交直線BC于點E，交x軸于點F，設點D的橫坐標為m,且0＜m＜3，求線段DE長度的最大值．
（3）如圖2，設M為拋物線的頂點，G（3，-2），在y軸上是否存在點Q，使得∠GQM=45°？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
發布：2025/5/25 22:0:1組卷：99引用：1難度：0.2