已知拋物線y=ax2+bx-3與x軸交于點A（-1，0），B（3，0），與y軸交于點C．
（1）求拋物線的函數解析式．
（2）如圖1，點D在拋物線上，過點D作DF⊥x軸，交直線BC于點E，交x軸于點F，設點D的橫坐標為m,且0＜m＜3，求線段DE長度的最大值．
（3）如圖2，設M為拋物線的頂點，G（3，-2），在y軸上是否存在點Q，使得∠GQM=45°？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
【考點】二次函數綜合題．
【答案】（1）拋物線的函數解析式為y=x2-2x-3；
（2）線段DE長度的最大值為；
（3）存在點Q，點Q的坐標為（0，-2+ ）或（0，-2-）．
（2）線段DE長度的最大值為
9
4
（3）存在點Q，點Q的坐標為（0，-2+
3
3
【解答】
【點評】
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發布：2025/5/25 22:0:1組卷：99引用：1難度：0.2
相似題
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1．拋物線y=ax2-4ax-12a（a≠0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），頂點為C．以點C為旋轉中心，將點B順時針旋轉90°得到點D．
（1）直接寫出點C的坐標為 ．（用含a的式子表示）
（2）試說明點A為位置不變的定點，并求出點A的坐標．
（3）當∠ABC=30°時，求點D的坐標．
（4）當點D在第三象限時，直接寫出a的取值范圍．發布：2025/5/26 4:0:1組卷：147引用：1難度：0.1 -
2．如圖，已知二次函數y=ax2+bx的圖象經過點A（4，0），B（1，3），點B關于拋物線對稱軸的對稱點為點C，過點B作直線BM⊥x軸，垂足為點M．
（1）求二次函數的表達式并直接寫出點C的坐標；
（2）點P是直線BM右側拋物線上一點，若△ABP的面積是6．
①直接寫出點P到直線AB的距離；
②求點P的坐標；
（3）點G在x軸上，點H在直線BM上，當以C，G，H為頂點的三角形是等腰直角三角形時，此時△CGH的面積是 ．
發布：2025/5/26 4:0:1組卷：54引用：1難度：0.3 -
3．已知拋物線y=ax2-（3a-1）x-2（a為常數且a≠0）與y軸交于點A．
（1）點A的坐標為 ；對稱軸為 （用含a的代數式表示）；
（2）無論a取何值，拋物線都過定點B（與點A不重合），則點B的坐標為 ；
（3）若a＜0，且自變量x滿足-1≤x≤3時，圖象最高點的縱坐標為2，求拋物線的表達式；
（4）將點A與點B之間的函數圖象記作圖象M（包含點A、B），若將M在直線y=-2下方的部分保持不變，上方的部分沿直線y=-2進行翻折，可以得到新的函數圖象M1，若圖象M1上僅存在兩個點到直線y=-6的距離為2，求a的值．發布：2025/5/26 4:30:1組卷：504引用：3難度：0.3