“鹿鳴?博約”數學興趣小組開展了《再探矩形的折疊》這一課題研究．已知矩形ABCD，點E、F分別是AB、CD邊上的動點．
（1）若四邊形ABCD是正方形，如圖①，將四邊形BCFE沿EF翻折，點B，C的對應點分別為M、N．點M恰好是AD的中點．
①若AD=8，求AE的長度；
②若MN與CD的交點為G，連接EG，試說明AE+DG=EG；
（2）若AB=23，AD=2，如圖②，且AE=CF，將四邊形BCFE沿EF翻折，點B、C的對應點分別為B′、C′．當點E從點A運動至點B的過程中，點B′的運動路徑長為 83π83π；
（3）若四邊形ABCD是正方形，AD=8，如圖③，連接DE交AC于點M，以DE為直徑作圓，該圓與AC交于點A和點N，將△EMN沿EN翻折，若點M的對應點M′剛好落在BC邊上，求此時AE的長度．
3
8
3
π
8
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π
【考點】圓的綜合題．
【答案】
8
3
π
【解答】
【點評】
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發布：2024/7/13 8:0:9組卷：315引用：1難度：0.5
相似題
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1．【問題呈現】阿基米德折弦定理：阿基米德（archimedes,公元前287-公元前212年，古希臘）是有史以來最偉大的數學家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數學王子．如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC＞AB，點M是
的中點，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點，即CD=DB+BA．下面是運用“截長法”證明CD=DB+BA的部分證明過程．?ABC
證明：如圖2，在CD上截取CG=AB，連接MA、MB、MC和MG．
∵M是的中點，?ABC
∴MA=MC，
又∵∠A=∠C，BA=GC，
∴△MAB≌△MCG，
∴MB=MG，
又∵MD⊥BC，
∴BD=DG，
∴AB+BD=CG+DG即CD=DB+BA．
【理解運用】如圖1，AB、BC是⊙O的兩條弦，AB=4，BC=6，點M是的中點，MD⊥BC于點D，則BD=；?ABC
【變式探究】如圖3，若點M是的中點，【問題呈現】中的其他條件不變，判斷CD、DB、BA之間存在怎樣的數量關系？并加以證明．?AC
【實踐應用】如圖4，BC是⊙O的直徑，點A圓上一定點，點D圓上一動點，且滿足∠DAC=45°，若AB=6，⊙O的半徑為5，則AD=．
發布：2025/5/24 15:30:1組卷：1264引用：8難度：0.2 -
2．（1）如圖1，⊙A的半徑為2，AB=5，點P為⊙A上任意一點，則BP的最小值為 ．
（2）如圖2，已知矩形ABCD，點E為AB上方一點，連接AE，BE，作EF⊥AB于點F，點P是△BEF的內心，求∠BPE的度數．
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接AP，CP，若矩形的邊長AB=6，BC=4，BE=BA，求此時CP的最小值．
發布：2025/5/24 16:30:1組卷：1241引用：6難度：0.3 -
3．微探究：如圖①，點P在⊙O上，利用直尺（沒有刻度）和圓規過點P作⊙O的切線．小明所在的數學小組經過合作探究，發現了很多作法，精彩紛呈．
作法一：
①作直徑PA的垂直平分線交⊙O于點B；
②分別以點B、P為圓心，OP為半徑作弧，兩弧交于點C；
③作直線PC．
作法二：
①作直徑PA的四等分點B、C；
②以點A為圓心，CA為半徑作弧，交射線PA于點D；
③分別以點A、P為圓心，PD、PC為半徑作弧，兩弧交于點E；
④作直線PE．
（1）以上作法是否正確？選一個你認為正確的作法予以證明；
（2）在圖①、圖②中用兩種作法作出符合條件的圖形（與以上作法不同）．不寫作法，保留作圖痕跡．
發布：2025/5/24 16:0:1組卷：115引用：1難度：0.1