已知橢圓M：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的離心率為55，橢圓M與y軸交于A，B兩點（A在下方），且|AB|=4．過點G（0，1）的直線l與橢圓M交于C，D兩點（不與A重合）．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）證明：直線AC的斜率與直線AD的斜率乘積為定值．
x
2
a
2
y
2
b
2
5
5
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）證明：由題意，直線l的斜率存在．
當k=0時，直線l的方程為y=1，代入橢圓方程有．
則．
∴．
∴．
當k≠0時，則直線l的方程為y=kx+1．
由
，得（4+5k2）x2+10kx-15=0．
設C（x1，y1），D（x2，y2），
則，．
又A（0，-2），
∴，
=
==．
即直線AC的斜率與直線AD的斜率乘積為定值．
x
2
5
+
y
2
4
=
1
（Ⅱ）證明：由題意，直線l的斜率存在．
當k=0時，直線l的方程為y=1，代入橢圓方程有
x
=±
15
2
則
C
（
-
15
2
，
1
）
，
D
（
15
2
，
1
）
∴
k
AC
=
-
2
-
1
15
2
=
-
6
15
，
k
AD
=
-
2
-
1
-
15
2
=
6
15
∴
k
AC
?
k
AD
=
-
6
15
×
6
15
=
-
12
5
當k≠0時，則直線l的方程為y=kx+1．
由
y = kx + 1 |
x 2 5 + y 2 4 = 1 |
設C（x1，y1），D（x2，y2），
則
x
1
+
x
2
=
-
10
k
4
+
5
k
2
x
1
x
2
=
-
15
4
+
5
k
2
又A（0，-2），
∴
k
AC
=
y
1
+
2
x
1
k
AD
=
y
2
+
2
x
2
k
AC
?
k
AD
=
y
1
+
2
x
1
?
y
2
+
2
x
2
=
（
k
x
1
+
3
）
（
k
x
2
+
3
）
x
1
x
2
=
k
2
x
1
x
2
+
3
k
（
x
1
+
x
2
）
+
9
x
1
x
2
=
k
2
+
3
k
（
x
1
+
x
2
）
+
9
x
1
x
2
=
k
2
+
3
k
（
-
10
k
4
+
5
k
2
）
+
9
-
15
4
+
5
k
2
=
k
2
+
-
30
k
2
+
36
+
45
k
2
-
15
-
12
5
即直線AC的斜率與直線AD的斜率乘積為定值．
【解答】
【點評】
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發布：2024/4/20 14:35:0組卷：272引用：4難度：0.4
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