綜合與探究
如圖，拋物線y=-x2+2x+3與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，點P是第一象限內拋物線上的一個動點．
（1）請直接寫出點A，B，C的坐標；
（2）是否存在這樣的點P，使得S△COP=S△BOP？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若點Q是直線BC上一點，是否存在點Q，使得以點A、C、Q為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出Q的坐標；若不存在，請說明理由．
【考點】二次函數綜合題．
【答案】（1）A（-1，0），B（3，0），C（0，3）；
（2）；
（3）存在點Q，使得以點A、C、Q為頂點的三角形是等腰三角形，或或Q（2，1）或．
（2）
P
（
13
+
1
2
，
13
+
1
2
）
（3）存在點Q，使得以點A、C、Q為頂點的三角形是等腰三角形，
Q
（
5
，-
5
+
3
）
Q
（
-
5
，
5
+
3
）
Q
（
5
2
，
1
2
）
【解答】
【點評】
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發布：2024/9/7 20:0:9組卷：146引用：4難度：0.1
相似題
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1．已知關于x的拋物線的解析式為y=x2-2ax+a2+2a+1．
（1）當a=1時，求拋物線的對稱軸和頂點坐標；
（2）若拋物線與直線x=3交于點A，求點A到x軸的距離最小值；
（3）證明：不論a取何值時，拋物線的頂點都在直線y=2x+1上；
（4）直線y=2x+1與該拋物線相交，求拋物線在這條直線上所截線段的長度．發布：2025/5/26 11:30:1組卷：300引用：1難度：0.3 -
2．在平面直角坐標系中，已知拋物線
（a為常數，且a≠0）經過點A（2，m）、B（2a,n），設此拋物線在A和B之間（包括A、B兩點）的部分為圖象G．y=1ax2-2x-1
（1）當a=2時，拋物線的頂點坐標為 ．
（2）m=；n=．
（3）當此拋物線的頂點在圖象G上時．
①直接寫出a的取值范圍．
②當圖象G對應函數值的最小值為-6時，求a的值以及此時圖象G最高點的坐標．
（4）設點P（2a,-3-2a），以PB為邊作正方形PBMN，其中MN和y軸在PB的同側，若圖象G在正方形PBMN內部的圖象中，y隨x的增大而增大或y隨x的增大而減小時，直接寫出a的取值范圍．發布：2025/5/26 11:30:1組卷：187引用：2難度：0.3 -
3．在平面直角坐標系xOy中，把與x軸交點相同的二次函數圖象稱為“共根拋物線”．如圖，拋物線L1：y=
x2-12x-2的頂點為D，交x軸于點A、B（點A在點B左側），交y軸于點C．拋物線L2與L1是“共根拋物線”，其頂點為P．32
（1）若拋物線L2經過點（2，-12），求L2對應的函數表達式；
（2）當BP-CP的值最大時，求點P的坐標；
（3）設點Q是拋物線L1上的一個動點，且位于其對稱軸的右側．若△DPQ與△ABC相似，求其“共根拋物線”L2的頂點P的坐標．
發布：2025/5/26 11:30:1組卷：3535引用：7難度：0.1