如圖，已知二次函數y=ax2+bx+4的圖象與x軸交于A、B，與y軸交于點C，∠ACB=90°，且OC=2OA．
（1）求此二次函數的關系式；
（2）若點P為直線BC上方拋物線上的一動點，PM⊥BC于M，PN∥y軸交BC于N，求△PMN周長的最大值及此時是P的坐標；
（3）過點A作BC的平行線交拋物線于D，E為直線AD上一動點，F為平面內一動點，當以B、C、E、F為頂點的四邊形為菱形時，請直接寫出點E坐標．
【考點】二次函數綜合題．
【答案】（1）y=-x2+x+4；
（2）△PMN周長的最大值為，此時點P（4，6）；
（3）點E的坐標為（-2+4，-2）或（-2-4，2）或（6+4，-4-2）或（6-4，-4+2）或（2，-2）．
1
4
3
2
（2）△PMN周長的最大值為
20
+
12
5
5
（3）點E的坐標為（-2+4
3
3
3
3
3
3
3
3
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：827引用：2難度：0.4
相似題
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1．如圖，拋物線與x軸交于A（-1，0）、B兩點，與y軸交于點，對稱軸為直線x=2．C（0，103）
（1）求此拋物線的表達式；
（2）點Q為對稱軸右側拋物線上一點，若以BQ為斜邊的等腰直角三角形PBQ的頂點P落在對稱軸x=2上，求點Q的坐標．發布：2025/5/31 13:30:2組卷：289引用：2難度：0.4 -
2．在平面直角坐標系中，拋物線y=-x2-2x+3與x軸交于A、B兩點（A在B的左側），與y軸交于點C，頂點為D．
（1）請直接寫出點A，C，D的坐標；
（2）如圖（1），在x軸上找一點E，使得△CDE的周長最小，求點E的坐標；
（3）如圖（2），點P為拋物線對稱軸上的動點，使得△ACP為等腰三角形？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．
發布：2025/5/31 14:30:1組卷：715引用：6難度：0.2 -
3．定義：與坐標軸不重合的直線l交x,y軸于A、B兩點（A、B不重合），若拋物線L過點A和點B，則稱此拋物線L為直線l的“和諧線”，如圖L1，L2均為直線l的“和諧線”．
（1）已知直線的解析式為y=-x+4，則下列拋物線是直線l的“和諧線”的有．①y=x2-5x+4
②y=2x2-7x-4
③y=-12x2+x+4
（2）已知直線y=kx+b的“和諧線”為，且直線與雙曲線y=-14x2+x-1交于點M，N，求線段MN的長．y=4x
（3）已知直線y=-cx+c（c≠0）的“和諧線”為y=ax2+bx+c（a≠0，且a＞b＞c），求該“和諧線”在x軸上所截線段長d的取值范圍．發布：2025/5/31 13:0:2組卷：765引用：2難度：0.6