已知：橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），過點A（-a,0），B（0，b）的直線傾斜角為π6，原點到該直線的距離為32．
（1）求橢圓的方程；
（2）斜率大于零的直線過D（-1，0）與橢圓交于E，F兩點，若ED=2DF，求直線EF的方程；
（3）對于D（-1，0），是否存在實數k,直線y=kx+2交橢圓于P，Q兩點，且|DP|=|DQ|？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
π
6
3
2
ED
=
2
DF
【考點】直線與圓錐曲線的綜合；橢圓的標準方程．
【答案】（1）；
（2）x=y-1，即x-y+1=0．
（3）不存在．
記P（x1，y1），Q（x2，y2），將y=kx+2代入，
得（3k2+1）x2+12kx+9=0（*），x1，x2是此方程的兩個相異實根．
設PQ的中點為M，則，；
由|DP|=|DQ|，得DM⊥PQ，∴kDM===-，
整理得3k2-4k+1=0，解得k=1或；
但k=1，均使方程（*）沒有兩相異實根，∴滿足條件的k值不存在．
x
2
3
+
y
2
=
1
（2）x=y-1，即x-y+1=0．
（3）不存在．
記P（x1，y1），Q（x2，y2），將y=kx+2代入
x
2
3
+
y
2
=
1
得（3k2+1）x2+12kx+9=0（*），x1，x2是此方程的兩個相異實根．
設PQ的中點為M，則
x
M
=
x
1
+
x
2
2
=
-
6
k
3
k
2
+
1
y
M
=
k
x
M
+
2
=
2
3
k
2
+
1
由|DP|=|DQ|，得DM⊥PQ，∴kDM=
y
M
x
M
+
1
2
3
k
2
+
1
-
6
k
3
k
2
+
1
+
1
1
k
整理得3k2-4k+1=0，解得k=1或
k
=
1
3
但k=1，
k
=
1
3
【解答】
【點評】
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發布：2024/9/9 5:0:8組卷：38引用：5難度：0.1
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（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O為坐標原點．E：x2a2-y2b2=1
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．5
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