小亮學習了圓周角定理的推論“圓內接四邊形對角互補”后，勇于思考大膽創新，并結合三角形的角平分線的性質進行了以下思考和發現：
（1）①如圖1，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，若∠B=85°，則∠ADE=85°85°；
②如圖2，在△ABC中，BE，CE分別平分∠ABC和∠ACD，BE，CE相交于點E，∠A=42°，則∠E=2121°；
（2）小亮根據這個發現，又進行了以下深入研究：
如圖3，四邊形ABCD內接于⊙O，對角線BD是⊙O的直徑，AC=BC，點F是弧AD的中點，求∠E的度數[（1）中的結論可直接用]．
【考點】圓的綜合題．
【答案】85°；21
【解答】
【點評】
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發布：2025/5/24 19:30:1組卷：127引用：1難度：0.4
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1．如圖，AB為⊙O的直徑，點C是⊙O上一點．CD與⊙O相切于點C，過點A作AD⊥DC，交半圓O于點E．連接AC，BC．
（1）求證：AC是∠DAB的角平分線；
（2）若AD=2，AB=3，求AC的長；
（3）若AE=2DE．試判斷以O，A，E，C為頂點的四邊形的形狀為．發布：2025/5/25 1:0:1組卷：395引用：2難度：0.3 -
2．如圖，四邊形ABCE內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點D在AB的延長線上，延長AE交BC的延長線于點F，點C是BF的中點，∠BCD=∠CAE．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）求證：△CEF是等腰三角形；
（3）若BD=1，CD=2，求cos∠CBA的值及EF的長．發布：2025/5/25 1:0:1組卷：818引用：7難度：0.1 -
3．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分線AD交BC于點D，點E在AC上，以AE為直徑的⊙O經過點D．
（1）求證：①BC是⊙O的切線；
②CD2=CE?CA；
（2）若點F是劣弧AD的中點，且CE=3，試求陰影部分的面積．發布：2025/5/25 1:0:1組卷：3655引用：17難度：0.4