如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點D的坐標為（1，4），并經過點B（3，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P是拋物線上一點（不與點D重合），直線PD將△ABD的面積分成3：1兩部分，求點P的坐標；
（3）點Q從點C出發，以每秒2個單位的速度在y軸運動，運動時間為t秒，當∠OQA=∠ABC-∠OCA時，求t的值．
【考點】二次函數綜合題．
【答案】（1）y=-x2+2x+3；
（2）點P的坐標為：（5，-12）或（-3，-12）；
（3）t=或．
（2）點P的坐標為：（5，-12）或（-3，-12）；
（3）t=
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2
1
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【解答】
【點評】
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發布：2024/7/10 8:0:8組卷：533引用：5難度：0.4
相似題
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1．如圖1．拋物線y=ax2+2x+c,交x軸于A、B兩點，交y軸于點C．當y≥0時-1≤x≤3．
（1）求拋物線的表達式；
（2）若點D是拋物線上第一象限的點．
①如圖1連接AD，交線段BC于點G，若=DGAG時，求D點的坐標；12
②如圖2，在①條件下，當點D靠近拋物線對稱軸時，過點D作DP⊥x軸，點H是DP上一點，連接AH，求AH+DH的最小值；1010
（3）如圖3，點D是拋物線上第一象限的點，F為拋物線頂點，直線EF垂直于x軸于點E，直線AD，BD分別與拋物線對稱軸交于M、N兩點試問，EM+EN是否為定值？如果是，請直接寫出這個定值：如果不是，請說明理由．發布：2025/5/23 7:30:1組卷：347引用：1難度：0.4 -
2．如圖1，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C．
（1）求拋物線解析式；
（2）如圖2，M是拋物線頂點，△CBM的外接圓與x軸的另一交點為D，與y軸的另一交點為E．
①求tan∠CBE；
②若點N是第一象限內拋物線上的一個動點，在射線AN上是否存在點P，使得△ACP與△BCE相似？如果存在，請求出點P的坐標；
（3）點Q是拋物線對稱軸上一動點，若∠AQC為銳角，且tan∠AQC＞1，請直接寫出點Q縱坐標的取值范圍．
發布：2025/5/23 7:0:1組卷：1401引用：4難度：0.1 -
3．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）經過點A（1，0）和點B（3，0），與y軸交于點C．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若點P是直線BC下方的拋物線上一動點（不點B，C重合），過點P作y軸的平行線交直線BC于點D，設點P的橫坐標為m.
①用含m的代數式表示線段PD的長．
②連接PB，PC，求△PBC的面積最大時點P的坐標．
（3）設拋物線的對稱軸與BC交于點E，點M是拋物線的對稱軸上一點，N為y軸上一點，是否存在這樣的點M和點N，使得以點C、E、M、N為頂點的四邊形是菱形？如果存在，請直接寫出點M的坐標；如果不存在，請說明理由．發布：2025/5/23 7:30:1組卷：4997引用：12難度：0.1