如圖，拋物線y=ax2+bx+c經過點A（-1，0），B（0，3），C（3，0）．
（1）求拋物線的表達式；
（2）若點P為第一象限內拋物線上的一點，設△PBC的面積為S，求S的最大值及此時點P的坐標；
（3）已知M是拋物線對稱軸上一點，在平面內是否存在點N，使以B、C、M、N為頂點的四邊形是矩形？若存在，直接寫出N點坐標；若不存在，請說明理由．
【考點】二次函數綜合題．
【答案】（1）y=-x2+2x+3；
（2）S最大值為，；
（3）存在，點或或（-2，1）或（4，1）．
（2）S最大值為
27
8
P
（
3
2
，
15
4
）
（3）存在，點
N
（
2
，
1
2
（
3
+
17
）
）
（
2
，
1
2
（
3
-
17
）
）
【解答】
【點評】
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發布：2024/7/6 8:0:9組卷：292引用：2難度：0.5
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1．如圖，是某水上樂園為親子游樂區新設滑梯的示意圖，其中線段PA是豎直高度為6米的平臺，PO垂直于水平面，滑道分為兩部分，其中AB段是雙曲線y=的一部分，BCD段是拋物線的一部分，兩滑道的連接點B為拋物線的頂點，且B點的豎直高度為2米，滑道與水平面的交點D距PO的水平距離為7米，以點O為坐標原點建立平面直角坐標系，滑道上點的豎直高度為y,距直線PO的水平距離為x.10x
（1）請求出滑道BCD段y與x之間的函數關系式；
（2）當滑行者滑到C點時，距地面的距離為1米，求滑行者此時距滑道起點A的水平距離；
（3）在建模實驗中發現，為保證滑行者的安全，滑道BCD落地點D與最高點B連線與水平面夾角應不大于45°，且由于實際場地限制，≥OPOD，求OD長度的取值范圍．12發布：2025/5/23 23:0:1組卷：271引用：2難度：0.2 -
2．如圖，拋物線y=-x2+mx+n與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，已知A（-1，0），C（0，2）．12
（1）求拋物線的表達式；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點的坐標；如果不存在，請說明理由；
（3）點E是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當點E運動到什么位置時，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點的坐標．發布：2025/5/23 23:0:1組卷：7415引用：47難度：0.5 -
3．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c（a＜0）與x軸交于A（-2，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C，且OC=2OA．
（1）試求拋物線的解析式；
（2）直線y=kx+1（k＞0）與y軸交于點D，與拋物線在第一象限交于點P，與直線BC交于點M，記，試求m的最大值及此時點P的坐標；m=S△CPMS△CDM
（3）在（2）的條件下，m取最大值時，是否存在x軸上的點Q及坐標平面內的點N，使得P，D，Q，N四點組成的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的Q點和N點的坐標；若不存在，請說明理由．發布：2025/5/23 23:0:1組卷：1536引用：6難度：0.2