已知關(guān)于x的一元二次方程-x2+2ax+2a+6=0．
（1）求證：無論a為任何實數(shù)，此方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）如圖，若拋物線y=-x2+2ax+2a+6與x軸交于點A（-2，0）和點B，與y軸交于點C，連結(jié)BC，BC與對稱軸交于點D．
①求拋物線解析式和點B的坐標；
②若點P是拋物線上位于直線BC的上方一動點，連接PC、PD，過點P作PN⊥x軸，交BC于點M，求△PCD面積的最大值及此時點P的坐標．
【考點】二次函數(shù)綜合題．
【答案】（1）見解析
（2）①拋物線的解析式為y=-x2+2x+8，B點坐標為（4，0）②S△PCD有最大值．此時點P的坐標為
（2）①拋物線的解析式為y=-x2+2x+8，B點坐標為（4，0）②S△PCD有最大值
25
8
（
3
2
，
35
4
）
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2025/5/29 22:30:1組卷：98引用：2難度：0.1
相似題
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1．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD為正方形，點A，B在x軸上，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點B，D（-4，5）兩點，且與直線DC交于另一點E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）F為拋物線對稱軸與x軸的交點，M為線段DE上一點，N為平面直角坐標系中的一點，若存在以點D、F、M、N為頂點的四邊形是菱形．請直接寫出點N的坐標，不需要寫過程；
（3）P為y軸上一點，過點P作拋物線對稱軸的垂線，垂足為Q，連接OB、BP，探究EQ+PQ+PB是否存在最小值．若存在，請求出這個最小值及點Q的坐標，若不存在，請說明理由．發(fā)布：2025/5/30 14:30:1組卷：323引用：4難度：0.4 -
2．如圖，拋物線與x軸交于點A，B，與y軸交于點C．直線y=2x+2經(jīng)過點A，C．y=-12x2+bx+c
（1）求出此拋物線的表達式及點B的坐標；
（2）已知點P是第一象限內(nèi)拋物線上一動點．
①當點P在何位置時，以點P，B，C為頂點的三角形面積最大？最大面積是多少？
②再取x軸上一點H，是否存在以點A，C，P，H為頂點的平行四邊形？若存在，請直接寫出點P和H的坐標；若不存在，請說明理由．發(fā)布：2025/5/30 15:0:2組卷：188引用：1難度：0.1 -
3．已知拋物線y=ax2+bx+c（a＞0）經(jīng)過A（-1，0）、B（m,0）兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，OB=3OA，tan∠ABC=1．
（1）如圖1，求此拋物線的表達式；
（2）如圖2，直線y=kx+n（0＜k＜1）經(jīng)過點B，交AC于點D，點P為線段BD的中點，過點D作DE⊥x軸于點E，作DF⊥BC于點F，連結(jié)PE、PF．
①求證：△PEF是等腰直角三角形；
②當△PEF的周長最小時，求直線BD的表達式．
發(fā)布：2025/5/30 15:30:2組卷：189引用：2難度：0.3