將一個矩形紙片OABC放置在平面直角坐標系中，點O（0，0），點A（3，0），點C（0，6），點P在矩形的邊OC上，折疊該紙片，使折痕所在的直線經過點P，并與x軸的正半軸相交于點Q，且∠OPQ=30°，點O的對應點O'落在第一象限．設O′Q=t.
（Ⅰ）如圖①，當t=1時，求∠O′QA的大小和點O′的坐標；
（Ⅱ）如圖②，若折疊后重合部分為四邊形，O′Q，O'P分別與邊AB相交于點E，F，試用含有t的式子表示重疊部分的面積S，并寫出t的取值范圍；
（Ⅲ）當折痕PQ恰好過點A時，求折疊后重合部分的面積 3√33√3．
3
√
3
3
√
3
【考點】四邊形綜合題．
【答案】
3
√
3
【解答】
【點評】
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發布：2025/5/23 17:0:1組卷：314引用：1難度：0.1
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1．如圖1所示，邊長為4的正方形ABCD與邊長為a（1＜a＜4）的正方形CFEG的頂點C重合，點E在對角線AC上．
【問題發現】如圖1所示，AE與BF的數量關系為 ；
【類比探究】如圖2所示，將正方形CFEG繞點C旋轉，旋轉角為α（0＜α＜30°），請問此時上述結論是否還成立？如成立寫出推理過程，如不成立，說明理由；
【拓展延伸】若點F為BC的中點，且在正方形CFEG的旋轉過程中，有點A、F、G在一條直線上，直接寫出此時線段AG的長度為 ．發布：2025/6/2 0:0:1組卷：1616引用：10難度：0.2 -
2．已知正方形ABCD和正方形CGEF，且D點在CF邊上，M為AE中點，連接MD、MF．
（1）如圖1，請直接給出線段MD、MF的數量及位置關系；
（2）如圖2，把正方形CGEF繞點C順時針旋轉，則（1）中的結論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請給出你的結論并證明；
（3）若將正方形CGEF繞點C順時針旋轉30°時，CF邊恰好平分線段AE，請直接寫出的值．CGCB發布：2025/6/2 0:0:1組卷：344引用：1難度：0.3 -
3．如圖，四邊形ABCD是正方形，AB=8，取邊BC上的一點E使得BE=BC，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F，則EF=，過點C作CH⊥DF，交DF的延長線于點H．則CH=．13發布：2025/6/2 1:0:1組卷：595引用：1難度：0.1
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