如圖，將拋物線F1：y=-x2+3平移后得到拋物線F2．拋物線F2經過拋物線F1的頂點C，且與x軸相交于A，B兩點，其中B（3，0），拋物線F2的頂點為D．
（1）求拋物線F2的表達式．
（2）連接BC，BD，CD，求證：△BCD是直角三角形．
（3）連接AC．
①將△ABC沿邊BC折疊，點A的對應點為A'，若拋物線F1：y=-x2+3平移后得到拋物線F3，且拋物線F3的頂點恰好為A'，求拋物線F3的表達式．
②將拋物線F2沿x軸平移后得到拋物線F4．拋物線F4上是否存在一點P（點P在x軸的上方），使得以A，B，C，P四點構成的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出拋物線F4的表達式；若不存在，請說明理由．
【考點】二次函數綜合題．
【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）見解答；（3）①y=-（x-3）2+4；②拋物線的表達式為y=-（x-5）2+4或y=-（x-3）2+4或y=-（x+5）2+4或y=-（x+3）2+4．
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：66難度：0.3
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1．如圖，二次函數y=ax2-6ax-16a（a≠0）的圖象與x軸交于點A，B（A在B左側），與y軸正半軸交于點C，點D在拋物線上，CD∥x軸，且OD=AB．
（1）求點A，B的坐標及a的值；
（2）點P為y軸右側拋物線上一點．
①如圖①，若OP平分∠COD，OP交CD于點E，求點P的坐標；
②如圖②，拋物線上一點F的橫坐標為2，直線CF交x軸于點G，過點P作直線CF的垂線，垂足為Q，若∠PCQ=∠BGC，求點Q的坐標．
發布：2025/6/16 7:30:1組卷：1429引用：4難度：0.1 -
2．如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于原點O和點A，且其頂點B關于x軸的對稱點坐標為（2，1）．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）拋物線的對稱軸上存在定點F，使得拋物線y=ax2+bx+c上的任意一點G到定點F的距離與點G到直線y=-2的距離總相等．
①證明上述結論并求出點F的坐標；
②過點F的直線l與拋物線y=ax2+bx+c交于M，N兩點．
證明：當直線l繞點F旋轉時，+1MF是定值，并求出該定值；1NF
（3）點C（3，m）是該拋物線上的一點，在x軸，y軸上分別找點P，Q，使四邊形PQBC周長最小，直接寫出P，Q的坐標．
發布：2025/6/16 5:0:1組卷：2172引用：5難度：0.4 -
3．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+5經過A（-5，0），B（-4，-3）兩點，與x軸的另一個交點為C，頂點為D，連接BD，CD．
（1）求該拋物線的表達式；
（2）判斷△BCD的形狀，并說明理由；
（3）若點P為該拋物線上一動點（與點B、C不重合），該拋物線上是否存在點P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，請直接寫出滿足條件的所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．發布：2025/6/16 5:30:3組卷：1379引用：2難度：0.1