如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于原點O和點A，且其頂點B關于x軸的對稱點坐標為（2，1）．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）拋物線的對稱軸上存在定點F，使得拋物線y=ax2+bx+c上的任意一點G到定點F的距離與點G到直線y=-2的距離總相等．
①證明上述結論并求出點F的坐標；
②過點F的直線l與拋物線y=ax2+bx+c交于M，N兩點．
證明：當直線l繞點F旋轉時，1MF+1NF是定值，并求出該定值；
（3）點C（3，m）是該拋物線上的一點，在x軸，y軸上分別找點P，Q，使四邊形PQBC周長最小，直接寫出P，Q的坐標．
1
MF
1
NF
【考點】二次函數綜合題．
【答案】（1）y=x2-x；（2）①F（2，0）；②1；（3）Q（0，-），P（，0）．
1
4
3
10
6
7
【解答】
【點評】
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發布：2025/6/16 5:0:1組卷：2177引用：5難度：0.4
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1．如圖，已知直線y=kx-6與拋物線y=ax2+bx+c相交于A，B兩點，且點A（1，-4）為拋物線的頂點，點B在x軸上．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在（1）中拋物線的第二象限圖象上是否存在一點P，使△POB與△POC全等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若點Q是y軸上一點，且△ABQ為直角三角形，求點Q的坐標．發布：2025/6/25 8:30:1組卷：6972難度：0.1 -
2．給定一個函數，如果這個函數的圖象上存在一個點，它的橫、縱坐標相等，那么這個點叫做該函數的不變點．
（1）一次函數y=3x-2的不變點的坐標為．
（2）二次函數y=x2-3x+1的兩個不變點分別為點P、Q（P在Q的左側），將點Q繞點P順時針旋轉90°得到點R，求點R的坐標．
（3）已知二次函數y=ax2+bx-3的兩個不變點的坐標為A（-1，-1）、B（3，3）．
①求a、b的值．
②如圖，設拋物線y=ax2+bx-3與線段AB圍成的封閉圖形記作M．點C為一次函數y=-x+m的不變點，以線段AC為邊向下作正方形ACDE．當D、E兩點中只有一個點在封閉圖形M的內部（不包含邊界）時，求出m的取值范圍．13發布：2025/6/25 7:30:2組卷：348引用：2難度：0.1 -
3．如圖，已知拋物線經過A（1，0），B（0，3）兩點，對稱軸是直線x=-1．
（1）求拋物線對應的函數關系式；
（2）動點Q從點O出發，以每秒1個單位長度的速度在線段OA上運動，同時動點M從O點出發以每秒3個單位長度的速度在線段OB上運動，過點Q作x軸的垂線交線段AB于點N，交拋物線于點P，設運動的時間為t秒．
①當t為何值時，四邊形OMPQ為矩形；
②△AON能否為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由．發布：2025/6/25 6:0:1組卷：1079引用：59難度：0.5