已知橢圓E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的焦距為23，直線y=k（x-1）（k≠0）經過E的長軸的一個四等分點，且與E交于P，Q兩點．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）記線段PQ為直徑的圓為⊙M，判斷點A（2，0）與⊙M的位置關系，說明理由．
x
2
a
2
y
2
b
2
3
【考點】直線與圓錐曲線的綜合；點與圓的位置關系．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）點A在⊙M外．理由如下：
設P（x1，y1），Q（x2，y2），
由
得（1+4k2）x2-8k2x+4k2-4=0，
所以，Δ=（-8k2）2-4（1+4k2）（4k2-4）=48k2+16＞0，
所以x1+x2=，x1?x2=．
因為=（x1-2，y1），=（x2-2，y2），
所以?=（x1-2）（x2-2）+y1?y2，
=（1+k2）x1?x2-（2+k2）（x1+x2）+4+k2，
=-+4+k2，
=．
因為k≠0，
所以?＞0．
∴cos∠PAQ＞0，
∴∠PAQ為銳角，
所以點A在⊙M外．
x
2
4
+
y
2
=
1
（Ⅱ）點A在⊙M外．理由如下：
設P（x1，y1），Q（x2，y2），
由
y = k （ x - 1 ） |
x 2 + 4 y 2 = 4 |
所以，Δ=（-8k2）2-4（1+4k2）（4k2-4）=48k2+16＞0，
所以x1+x2=
8
k
2
1
+
4
k
2
4
k
2
-
4
1
+
4
k
2
因為
AP
AQ
所以
AP
AQ
=（1+k2）x1?x2-（2+k2）（x1+x2）+4+k2，
=
4
（
k
2
+
1
）
（
k
2
-
1
）
1
+
4
k
2
8
k
2
（
2
+
k
2
）
1
+
4
k
2
=
k
2
1
+
4
k
2
因為k≠0，
所以
AP
AQ
∴cos∠PAQ＞0，
∴∠PAQ為銳角，
所以點A在⊙M外．
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：54引用：3難度：0.5
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-
1．點P在以F1，F2為焦點的雙曲線
（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O為坐標原點．E：x2a2-y2b2=1
（Ⅰ）求雙曲線的離心率e；
（Ⅱ）過點P作直線分別與雙曲線漸近線相交于P1，P2兩點，且，OP1?OP2=-274，求雙曲線E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若過點Q（m,0）（m為非零常數）的直線l與（2）中雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點的兩點M、N，且（λ為非零常數），問在x軸上是否存在定點G，使MQ=λQN？若存在，求出所有這種定點G的坐標；若不存在，請說明理由．F1F2⊥（GM-λGN）發布：2024/12/29 10:0:1組卷：72引用：5難度：0.7 -
2．已知兩個定點坐標分別是F1（-3，0），F2（3，0），曲線C上一點任意一點到兩定點的距離之差的絕對值等于2
．5
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