在直角坐標系xOy中，曲線C：y=x24與直線l：y=kx+a（a＞0）交于M，N兩點．
（Ⅰ）當k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程．
（Ⅱ）y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有∠OPM=∠OPN？（說明理由）
x
2
4
【考點】直線與圓錐曲線的綜合．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）存在符合條件的點（0，-a），下面給出證明：
設P（0，b）滿足∠OPM=∠OPN．M（x1，y1），N（x2，y2），直線PM，PN的斜率分別為：k1，k2．
聯立
，化為x2-4kx-4a=0，
∴x1+x2=4k，x1x2=-4a．
∴k1+k2=+==．
當b=-a時，k1+k2=0，直線PM，PN的傾斜角互補，
∴∠OPM=∠OPN．
∴點P（0，-a）符合條件．
a
x
+
y
+
a
=
0
（Ⅱ）存在符合條件的點（0，-a），下面給出證明：
設P（0，b）滿足∠OPM=∠OPN．M（x1，y1），N（x2，y2），直線PM，PN的斜率分別為：k1，k2．
聯立
y = kx + a |
y = x 2 4 |
∴x1+x2=4k，x1x2=-4a．
∴k1+k2=
y
1
-
b
x
1
y
2
-
b
x
2
2
k
x
1
x
2
+
（
a
-
b
）
（
x
1
+
x
2
）
x
1
x
2
k
（
a
+
b
）
a
當b=-a時，k1+k2=0，直線PM，PN的傾斜角互補，
∴∠OPM=∠OPN．
∴點P（0，-a）符合條件．
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：8137引用：13難度：0.3
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（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O為坐標原點．E：x2a2-y2b2=1
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．5
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